Resolva os seguintes sistemas usando escalonamento:
\left{ cx+2 y+4 z=1 2 x+8 y+10 z=-4 4 x+10 y+26 z=10\right.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z). O objetivo é resolver esse sistema usando o método de escalonamento, que faz parte da álgebra linear. Para isso, vamos manipular as equações para encontrar os valores de x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada para facilitar as operações:
1 & 2 & 4 & | & 1 2 & 8 & 10 & | & -4 4 & 10 & 26 & | & 10

Passo 3

Nosso objetivo é criar zeros abaixo do primeiro elemento (1) na primeira coluna. Para isso, vamos eliminar os 2 e 4 das linhas abaixo usando operações de linha.
Primeiro, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 2 × Linha1
1 & 2 & 4 & | & 1 0 & 4 & 2 & | & -6 4 & 10 & 26 & | & 10

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 4 da terceira linha subtraindo 4 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 4 × Linha1
1 & 2 & 4 & | & 1 0 & 4 & 2 & | & -6 0 & 2 & 10 & | & 6

Passo 5

Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por 4:
Linha2 = Linha2 ÷ 4
1 & 2 & 4 & | & 1 0 & 1 & 0.5 & | & -1.5 0 & 2 & 10 & | & 6

Passo 6

Agora, vamos eliminar o 2 da terceira linha subtraindo 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 × Linha2
1 & 2 & 4 & | & 1 0 & 1 & 0.5 & | & -1.5 0 & 0 & 9 & | & 9

Passo 7

A partir da terceira linha, podemos resolver para z:
9z = 9 Rightarrow z = 1

Passo 8

Substituindo z = 1 na segunda linha, resolvemos para y:
y + 0.5(1) = -1.5 Rightarrow y = -1.5 - 0.5 Rightarrow y = -2

Passo 9

Finalmente, substituímos y = -2 e z = 1 na primeira linha para encontrar x:
x + 2(-2) + 4(1) = 1 Rightarrow x - 4 + 4 = 1 Rightarrow x = 1

Resposta

x = 1, y = -2, z = 1

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