Calcular a distância do ponto \mathrm{A}(3,4,-2)
ao eixo dos y;

Passo 1

O enunciado dá o ponto \mathrm{A}(3,4,-2) no espaço tridimensional e pede a distância desse ponto ao eixo dos y.
Informações relevantes:
  • Ponto dado: \mathrm{A} = (3,4,-2).
  • Eixo dos y: conjunto de pontos da forma (0,t,0), com t\in\mathbb{R}.
  • O que se pede: a menor distância entre \mathrm{A} e qualquer ponto do eixo dos y.

Passo 2

Lembrando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço: para dois pontos (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) a distância é
d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}.
Aqui cada termo (x_1-x_2),(y_1-y_2),(z_1-z_2) é a diferença nas coordenadas correspondentes; somamos os quadrados e tiramos raiz para obter a distância euclidiana.

Passo 3

Como o eixo dos y é o conjunto (0,t,0), a distância entre \mathrm{A}(3,4,-2) e um ponto genérico do eixo dos y, digamos (0,t,0), é
d(t)=\sqrt{(3-0)^2+(4-t)^2+(-2-0)^2}.
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz antes de minimizar em t.

Passo 4

Calcular o quadrado da distância (evita raiz ao minimizar):
d^2(t)=3^2+(4-t)^2+(-2)^2 = 9+(4-t)^2+4 = 13+(4-t)^2.
O termo (4-t)^2 é sempre não negativo e atinge o mínimo 0 quando t=4. Portanto d^2(t) é mínimo para t=4, e o mínimo vale 13.
(Alternativa rápida: geometricamente a perpendicular do ponto ao eixo dos y tem componente y igual a 4, então basta medir a distância no plano formado por x e z.)

Passo 5

Como o mínimo de d^2 é 13, a distância mínima é a raiz positiva correspondente:
d_{\min}=\sqrt{13}.
Interpretando: o vetor perpendicular do eixo dos y até \mathrm{A} é (3,0,-2) e seu comprimento é \sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}.

Resposta

\sqrt{13}

Exercícios relacionados