Calcular a distância do ponto
ao eixo dos y;
ao eixo dos y;
Passo 1
O enunciado dá o ponto
no espaço tridimensional e pede a distância desse ponto ao eixo dos
.
Informações relevantes:
- Ponto dado:
. - Eixo dos
: conjunto de pontos da forma , com . - O que se pede: a menor distância entre
e qualquer ponto do eixo dos .
Passo 2
Lembrando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço: para dois pontos
e
a distância é
Aqui cada termo
é a diferença nas coordenadas correspondentes; somamos os quadrados e tiramos raiz para obter a distância euclidiana.
Passo 3
Como o eixo dos
é o conjunto
, a distância entre
e um ponto genérico do eixo dos
, digamos
, é
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz antes de minimizar em
.
Passo 4
Calcular o quadrado da distância (evita raiz ao minimizar):
O termo
é sempre não negativo e atinge o mínimo
quando
. Portanto
é mínimo para
, e o mínimo vale
.
(Alternativa rápida: geometricamente a perpendicular do ponto ao eixo dos
tem componente
igual a
, então basta medir a distância no plano formado por
e
.)
Passo 5
Como o mínimo de
é
, a distância mínima é a raiz positiva correspondente:
Interpretando: o vetor perpendicular do eixo dos
até
é
e seu comprimento é
.