Calcular a distância do ponto P(2,0,3) à reta r: x2=y-22=z+3

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P(2,0,3) à reta r em R^3 dada por
x2 ;=;y-22;=;z+3
O conteúdo aqui é geometria analítica em 3D: vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta, que envolve produto vetorial.

Passo 2

Parametrizamos a reta tomando o parâmetro lambda igual àquela razão comum. Assim
x=2lambda, y-2=2lambda, z+3=lambda
Daí um ponto sobre r é, por exemplo,
A=(0,,2,,-3)
quando lambda=0, e o vetor diretor é
v=(2,,2,,1)

Passo 3

Formamos o vetor que vai de A até P:
AP=P - A = (2,,0,,3) - (0,,2,,-3) = (2,,-2,,6)

Passo 4

Calculamos o produto vetorial
APtimesv = i & j & k 2 & -2 & 6 2 & 2 & 1 = (-14,,10,,8)

Passo 5

A magnitude desse produto é
l|APtimesvr| =raiz(-14)^2+10^2+8^2 =raiz196+100+64 =raiz360 =6raiz10
Além disso,
|v| =raiz2^2+2^2+1^2 =raiz9 =3

Passo 6

Pela fórmula da distância de P à reta r,
d =l|APtimesvr||v| =6raiz103 =2raiz10

Resposta

2raiz10

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