Seja B:=u, v, w subset E^3 um conjunto LI. Mostre que B gera todo vetor de E^3.

Passo 1

O enunciado diz que B=vec u,vec v,vec wsubsetE^3 é um conjunto de três vetores linearmente independentes (LI). Queremos mostrar que, para todo vec xinE^3, existem escalares alpha,beta,gammainR tais que
vec x = alpha,vec u + beta,vec v + gamma,vec w
Isto é, provar que B gera todo vetor de E^3.

Passo 2

Escolhendo coordenadas no sistema canônico, escrevemos
Então a combinação se traduz no sistema linear de três equações:

Passo 3

Podemos escrever esse sistema em forma matricial como
onde

Passo 4

A hipótese de que vec u,vec v,vec w são linearmente independentes implica det(A)neq 0. Assim A é invertível e, para qualquer vec x, o sistema
Aalphabetagamma=vec x
tem solução única
alphabetagamma = A^-1,vec x

Passo 5

Como para todo vec xinE^3 encontramos alpha,beta,gamma que satisfazem vec x=alphavec u+betavec v+gammavec w, segue que B gera E^3.

Resposta

Qualquer vetor de E^3 pode ser escrito como combinação linear de vec u,vec v,vec w, logo B gera todo E^3.

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