Seja
um conjunto LI. Mostre que
gera todo vetor de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um conjunto de três vetores linearmente independentes (LI). Queremos mostrar que, para todo
, existem escalares
tais que
Isto é, provar que
gera todo vetor de
.
Passo 2
Escolhendo coordenadas no sistema canônico, escrevemos
Então a combinação
se traduz no sistema linear de três equações:
Passo 3
Podemos escrever esse sistema em forma matricial como
onde
Passo 4
A hipótese de que
vec u,vec v,vec w são linearmente independentes implica
det(A)neq 0 . Assim
A é invertível e, para qualquer
vec x , o sistema
tem solução única
Passo 5
Como para todo
vec xinE^3 encontramos
alpha,beta,gamma que satisfazem
vec x=alphavec u+betavec v+gammavec w , segue que
B gera
E^3 .
Resposta
Qualquer vetor de
E^3 pode ser escrito como combinação linear de
vec u,vec v,vec w , logo
B gera todo
E^3 .