Classifique a seguinte equação, determine seus elementos e esboce o gráfico:
x^2+10 y+8 x+y^2=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^2+y^2+8x+10y=0
que é uma cônica de segundo grau sem termo xy. Para classificar, lembramos que a forma geral é
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
Aqui A=1, B=0, C=1, logo A=Cneq0 e B=0, o que caracteriza uma circunferência. Para determinar os elementos, vamos completar quadrados em x e y.

Passo 2

Reescrevemos agrupando termos em x e em y:
x^2+8x;+;y^2+10y ;=;0
Agora completamos o quadrado em cada grupo:
x^2+8x = (x+4)^2-16,
y^2+10y = (y+5)^2-25
Substituindo na equação original:
(x+4)^2-16 ;+;(y+5)^2-25 ;=;0
Longrightarrow (x+4)^2 + (y+5)^2 = 16+25 = 41

Passo 3

A forma
(x+4)^2 + (y+5)^2 = 41
é a equação de uma circunferência com centro em (-4,-5) e raio
r = raiz41

Passo 4

Para esboçar o gráfico:
– Marque o centro C(-4,-5) no plano cartesiano.
– Trace uma circunferência de raio raiz41 (aprox.\ 6,4).
– Os pontos cardeais são
l(-4,-5+raiz41r),; l(-4,-5-raiz41r),; l(-4+raiz41,-5r),; l(-4-raiz41,-5r)
Isso já dá um esboço preciso da circunferência deslocada para o ponto (-4,-5).

Resposta

A equação é de uma circunferência com centro em (-4,-5) e raio raiz41. O esboço é um círculo centrado em (-4,-5) de raio aproximado 6,4.

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