Sejam a e b números reais. Escreva o vetor a u+b v como combinação linear dos vetores 2 u+v e u-2 v.

Passo 1

O enunciado pede para expressar
avec u + bvec v
como combinação linear dos vetores ;2vec u+vec v; e ;vec u-2vec v.
Isto é, vamos achar escalares x e y tais que
avec u + bvec v = x,(2vec u+vec v) ;+; y,(vec u-2vec v)

Passo 2

Expandindo o lado direito em função de vec u e vec v, temos
x,(2vec u+vec v) ;+; y,(vec u-2vec v) = (2x+y),vec u ;+; (x-2y),vec v
Comparando coeficientes com avec u + bvec v, obtemos o sistema
2x + y = a, x - 2y = b

Passo 3

Do primeiro, y = a - 2x. Substituindo no segundo:
x ;-; 2(a - 2x) = b ;Longrightarrow; x - 2a + 4x = b ;Longrightarrow; 5x = b + 2a ;Longrightarrow; x = b + 2a5

Passo 4

Voltando a y = a - 2x, temos
y = a ;-; 2b + 2a5 = 5a - 2b - 4a5 = a - 2b5

Passo 5

Substituindo em x e y na combinação, conclui-se
avec u + bvec v = b + 2a5,(2vec u+vec v) + a - 2b5,(vec u-2vec v)

Resposta

avec u + bvec v = b + 2a5,(2vec u+vec v) + a - 2b5,(vec u-2vec v)

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