Sejam \mathbf{u}_{1}=(-1,1,0), \mathbf{u}_{2}=(2,-1,1) e \mathbf{v}_{1}=(1,1,2), \mathbf{v}_{2}=(-1,2,1) e sejam E=\left[\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right] e F=\left[\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right] os subespaços gerados.
(a) Verifique que os conjuntos \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right\} e \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} são linearmente independentes.
(b) Mostre que E \subset F e deduza que E=F
(c) Encontre a expressão(equação ) de E(=F).

Passo 1

O enunciado dá dois pares de vetores em \mathbb{R}^3:
\mathbf{u}_{1}=(-1,1,0), \mathbf{u}_{2}=(2,-1,1) que geram o subespaço E=[\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2}],
e \mathbf{v}_{1}=(1,1,2), \mathbf{v}_{2}=(-1,2,1) que geram F=[\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}].
(a) Precisamos mostrar que cada par é linearmente independente.
(b) Mostrar que cada \mathbf{u}_i está em F, logo E\subset F, e como ambos têm dimensão 2, deduzir E=F.
(c) Encontrar a equação do plano E=F em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Verificamos \alpha\mathbf{u}_{1}+\beta\mathbf{u}_{2}=\mathbf{0}\). Isso gera o sistema \[\begin{cases} -\,\alpha +2\beta = 0,\\\ \alpha -\beta = 0,\\\\ 0\cdot\alpha +\beta = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem \beta=0\]. Então da segunda \(\alpha=0. Logo \{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2}\} é LI.

Passo 3

De modo análogo, para \gamma\mathbf{v}_{1}+\delta\mathbf{v}_{2}=\mathbf{0}\) obtemos \[\begin{cases} \gamma -\delta = 0,\\\ \gamma +2\delta = 0,\\\\ 2\gamma +\delta = 0. \end{cases}
Da primeira \gamma=\delta\], inserindo na segunda \(\gamma+2\gamma=0 \gamma=0, logo \delta=0. Assim \{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\} também é LI.

Passo 4

Para mostrar E\subset F\) expressamos \(\mathbf{u}_1\) e \(\mathbf{u}_2\) em função de \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\). Procuramos \(\mathbf{u}_1=a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2\), i.e. \[(-1,1,0)=a(1,1,2)+b(-1,2,1)
que dá o sistema
\begin{cases} a -b = -1,\\\ a +2b = 1,\\\\ 2a +b = 0. \end{cases}
Da terceira equação b=-2a\]. Substituindo na primeira, \[a-(-2a)=-1 3a=-1, a=-\tfrac13, b=\tfrac23.
Idem para \mathbf{u}_2:
(2,-1,1)=c(1,1,2)+d(-1,2,1)
leva a
\begin{cases} c -d = 2,\\\ c +2d = -1,\\\\ 2c +d = 1, \end{cases}
resolvendo obtemos c=1\], \(d=-1.
Logo \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\in F, ou seja E\subset F.

Passo 5

Como \dim E=2 (par LI de vetores) e \dim F=2, de E\subset F segue E=F.

Passo 6

Para achar a equação cartesiana do plano E=F, calculamos um vetor normal \mathbf{n}\perp \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2.
Tomando o produto vetorial
\mathbf{n}=\mathbf{u}_1\times\mathbf{u}_2 =\det\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ -1&1&0\\\ 2&-1&1\end{pmatrix} =(1,1,-1).
A equação do plano pelo normal fica
\mathbf{n}\cdot(x,y,z)=0 \quad\Longrightarrow\quad x + y - z = 0.

Resposta

(a) Ambos os pares são LI.
(b) Como cada \mathbf{u}_i é combinação de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, E\subset F e como \dim E=\dim F=2, vale E=F.
(c) A equação de E=F é
x + y - z = 0.

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