Calcular a distância entre as retas s e r: s: P=(0,3,0)+alpha(-1,2,-2) e r: P=(-1,1,-3)+beta(2,-4,4).

Passo 1

O enunciado pede a distância mínima entre duas retas s e r no espaço. O conteúdo é geometria analítica vetorial: vamos verificar se elas são paralelas a partir de seus vetores diretores e depois usar a fórmula de distância entre retas paralelas, que envolve produto vetorial.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores:
vec vs = (-1,2,-2), vec vr = (2,-4,4)
Como vec vr = -2,vec vs, as retas são paralelas e têm o mesmo “sentido” de direção, salvo escala.

Passo 3

Para retas paralelas, a distância entre elas é
d = l|ABtimesvec v,r||vec v|,
onde A é um ponto de s, B é um ponto de r e vec v é um vetor diretor comum (podemos usar vec vs).

Passo 4

Escolhemos
A=(0,3,0)in s, B=(-1,1,-3)in r
Então o vetor que liga A a B é
AB = B - A = (-1,-2,-3)

Passo 5

Calculamos o produto vetorial com vec v = vec vs = (-1,2,-2):
ABtimesvec v = (-1,-2,-3)times(-1,2,-2) = (10,,1,,-4)
O módulo desse vetor é
l|ABtimesvec vr| = raiz10^2 + 1^2 + (-4)^2 = 3raiz13

Passo 6

O módulo de vec v é
|vec v| = raiz(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2 = 3
Portanto
d = 3raiz133 = raiz13

Resposta

raiz13

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