Seja
uma transformação linear.
Mostre que
é injetora se, e somente se,
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos a equivalência entre a injetividade de uma transformação linear
e o fato de seu núcleo ser trivial, ou seja,
. Vamos usar a definição de injetividade (“
implica
”) e a definição de núcleo (“
”).
Passo 2
Suponha que
seja injetora. Para mostrar que
, tome
. Então
Mas como
e
é injetora, da igualdade
segue
. Assim todo vetor do núcleo é o vetor zero, e como
obviamente está em
, concluímos
.
Passo 3
Suponha agora que
e mostre que
é injetora. Sejam
tais que
Pela linearidade de
resulta
ou seja,
. Como o núcleo é
, temos
e portanto
. Isso mostra que
é injetora.
Resposta
Mostramos que
é injetora se, e somente se,
.