Seja T: V W uma transformação linear.
Mostre que T: V W é injetora se, e somente se, N(T)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a equivalência entre a injetividade de uma transformação linear Tcolon Vto W e o fato de seu núcleo ser trivial, ou seja, ,N(T)=0. Vamos usar a definição de injetividade (“ T(v1)=T(v2) implica v1=v2”) e a definição de núcleo (“ N(T)=vin Vmid T(v)=0”).

Passo 2

Suponha que T seja injetora. Para mostrar que N(T)=0, tome vin N(T). Então
T(v)=0
Mas como T(0)=0 e T é injetora, da igualdade T(v)=T(0) segue v=0. Assim todo vetor do núcleo é o vetor zero, e como 0 obviamente está em N(T), concluímos N(T)=0.

Passo 3

Suponha agora que N(T)=0 e mostre que T é injetora. Sejam v1,v2in V tais que
T(v1)=T(v2)
Pela linearidade de T resulta
T(v1 - v2)=T(v1)-T(v2)=0,
ou seja, v1 - v2in N(T). Como o núcleo é 0, temos v1 - v2=0 e portanto v1=v2. Isso mostra que T é injetora.

Resposta

Mostramos que T é injetora se, e somente se, N(T)=0.

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