Escreva a soma, das integrais abaixo, como uma única integral dupla usando coordenadas polares e calcule.
(a) integral0^2 integral0^x raizx^2+y^2 d y d x+integral2^2 raiz2 integral0^raiz8-x^2 raizx^2+y^2 d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a soma das duas integrais como uma única integral dupla em coordenadas polares e depois calcular o valor. O conteúdo é integração dupla e mudança para coordenadas polares, e vamos precisar usar que em polares x=rcostheta, y=rsintheta, raizx^2+y^2=r e o jacobiano é r.

Passo 2

A região de integração em retangulares é dada por
– para a primeira integral: 0<= x<=2, 0<= y<= x (triângulo sob y=x);
– para a segunda: 2<= x<=2raiz2, 0<= y<=raiz8-x^2 (porção sob o arco de raio 2raiz2).
Unindo as duas, vemos que no primeiro quadrante a região completa é o setor de ângulo de 0 a pi/4 até o círculo de raio 2raiz2.

Passo 3

Em coordenadas polares essa região fica simplesmente
0<=theta<=pi4, 0<= r<=2raiz2,
e a integranda raizx^2+y^2,dA vira rcdot(r,dr,dtheta)=r^2,dr,dtheta.

Passo 4

Portanto a soma das integrais se torna
integraltheta=0^pi/4integralr=0^2raiz2r^2,dr,dtheta

Passo 5

Agora calculamos:
Primeiro a integral em r:
integral0^2raiz2r^2,dr=l[r^33r]0^2raiz2=(2raiz2)^33=16raiz23
Depois a integral em theta:
integral0^pi/4dtheta=pi4
Multiplicando,
16raiz23cdotpi4=4raiz2,pi3

Resposta

4raiz2,pi3

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