Escreva a soma, das integrais abaixo, como uma única integral dupla usando coordenadas polares e calcule.
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para escrever a soma das duas integrais como uma única integral dupla em coordenadas polares e depois calcular o valor. O conteúdo é integração dupla e mudança para coordenadas polares, e vamos precisar usar que em polares
,
,
e o jacobiano é
.
Passo 2
A região de integração em retangulares é dada por
– para a primeira integral: ,
(triângulo sob
);
– para a segunda: ,
(porção sob o arco de raio
).
Unindo as duas, vemos que no primeiro quadrante a região completa é o setor de ângulo de a
até o círculo de raio
.
– para a primeira integral:
– para a segunda:
Unindo as duas, vemos que no primeiro quadrante a região completa é o setor de ângulo de
Passo 3
Em coordenadas polares essa região fica simplesmente
e a integranda
vira
.
Passo 4
Portanto a soma das integrais se torna
Passo 5
Agora calculamos:
Primeiro a integral em :
Primeiro a integral em
Depois a integral em
:
Multiplicando,