Dê o volume do sólido descrito, em coordenadas esféricas, pelas desigualdades dadas
(a) rho <= 2,0 <= varphi <= pi2 e 0 <= theta <= pi2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido em coordenadas esféricas definido por
rho<=2, 0<=varphi<=pi2 e 0<=theta<=pi2.
O conteúdo aqui é cálculo de volume via integral tripla em coordenadas esféricas, usando o elemento de volume
dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta.

Passo 2

Montamos a integral tripla para o volume:
V=integraltheta=0^pi/2integralvarphi=0^pi/2integralrho=0^2rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em rho:
integral0^2rho^2,drho=[rho^33]0^2=83

Passo 4

Agora fazemos as integrais em varphi e theta:
integral0^pi/2sinvarphi,dvarphi=l[-cosvarphir]0^pi/2=1,
integral0^pi/2dtheta=pi2

Passo 5

Multiplicando os resultados obtidos:
V=83times1timespi2=4pi3

Resposta

O volume do sólido é 4pi3.

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