Calcule as equações diferenciais lineares de 1^{a} ordem:
y^{\prime}-5 y=e^{-x}, sendo y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 1ª ordem
y' - 5y = e^{-x}
com condição inicial y(0)=2. Vamos usar o método do fator integrante para transformar o lado esquerdo numa derivada exata.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = e^{\int -5\,dx} = e^{-5x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x), vem
e^{-5x}y' - 5e^{-5x}y = e^{-5x}e^{-x} = e^{-6x}.
O lado esquerdo é exatamente
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-5x}y\bigr) = e^{-5x}y' - 5e^{-5x}y.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{-5x}y\bigr)\,dx = \int e^{-6x}\,dx
e^{-5x}y = -\frac{1}{6}e^{-6x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y e simplificando:
y = -\frac{1}{6}e^{-6x}e^{5x} + C e^{5x} = -\frac{1}{6}e^{-x} + C e^{5x}.
Aplicando y(0)=2:
2 = -\tfrac{1}{6} + C \quad\Longrightarrow\quad C = 2 + \tfrac{1}{6} = \tfrac{13}{6}.

Resposta

y(x) = -\frac{1}{6}e^{-x} + \frac{13}{6}e^{5x}.

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