(4, 0 pontos) Calcule as seguintes integrais
\int 5 x 3^{x} d x

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral
\int 5\,x\,3^x \,dx.
Trata-se de uma integral do tipo “produto”, então a estratégia mais adequada é usar integração por partes.

Passo 2

Escolhemos
u = x, \quad dv = 3^x\,dx,
portanto
du = dx \quad\text{e}\quad v = \int 3^x\,dx = \frac{3^x}{\ln(3)}.

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes,
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
temos
\int x\,3^x\,dx = x\cdot\frac{3^x}{\ln(3)} - \int \frac{3^x}{\ln(3)}\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral remanescente:
\int \frac{3^x}{\ln(3)}\,dx = \frac{1}{\ln(3)}\int 3^x\,dx = \frac{1}{\ln(3)}\cdot\frac{3^x}{\ln(3)} = \frac{3^x}{\bigl(\ln(3)\bigr)^2}.
Logo,
\int x\,3^x\,dx = \frac{x\,3^x}{\ln(3)} - \frac{3^x}{\bigl(\ln(3)\bigr)^2}.

Passo 5

Multiplicando por 5 e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int 5\,x\,3^x\,dx = 5\!\left(\frac{x\,3^x}{\ln(3)} - \frac{3^x}{\bigl(\ln(3)\bigr)^2}\right) + C.

Resposta

5\,\frac{x\,3^x}{\ln(3)} \;-\; 5\,\frac{3^x}{\bigl(\ln(3)\bigr)^2} \;+\; C.

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