Calcule o(s) valor(s) de m para o(s) qual(is) a reta r:\left\{\begin{array}{l}x=m y+3 \\\ z=(m+1) y-7\end{array}\right. seja ortogonal à reta determinada pelos pontos A(4,0, m) e B(-5,2 m, 3 m).
Passo 1
O enunciado dá uma reta r no espaço por duas equações que expressam x e z em função de y:
x = m\,y + 3
z = (m+1)\,y - 7
e dá dois pontos A(4,0,m) e B(-5,2m,3m).
A pergunta é: calcular todos os valores de m para os quais a reta r é ortogonal à reta que passa por A e B.\n
Lista das informações relevantes:
\text{Reta } r:\; x=m\,y+3,\quad z=(m+1)\,y-7.
A(4,0,m),\quad B(-5,2m,3m).
Passo 2
Entender como obter o vetor diretor de uma reta quando ela é dada por igualdades em função de um parâmetro.
Se eu tenho x=f(t), y=g(t), z=h(t) para uma reta parametrizada por t, o vetor diretor é dado pelos coeficientes de t (ou pelas derivadas \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}). Aqui as equações usam y como parâmetro, ou seja podemos tomar t=y. Então escrevemos:
x(t)=m t + 3,\quad y(t)=t,\quad z(t)=(m+1)t-7.
O vetor diretor de r é o vetor formado pelos coeficientes de t:
\vec{v}_r = (m,\;1,\;m+1).
Explicando o que isso significa: \vec{v}_r indica a direção da reta r; ao aumentar t em 1, x cresce em m, y cresce em 1 e z cresce em m+1.
Passo 3
Calcular o vetor diretor da reta determinada por A e B. O vetor \overrightarrow{AB} é B-A, componente a componente:
Chamamos esse vetor de \vec{v}_{AB} = (-9,\;2m,\;2m).
Passo 4
Recordar e explicar a condição de ortogonalidade entre duas retas em \mathbb{R}^3.
Duas retas são ortogonais se e somente se seus vetores diretores são ortogonais. Dois vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) são ortogonais quando o produto escalar (ou produto interno) é zero:
Verificação de casos degenerados (importante para garantir que as soluções são válidas):
O vetor diretor de r é \vec{v}_r=(m,1,m+1). Ele nunca é o vetor zero porque a segunda componente é 1. Então a reta r é sempre bem definida e tem direção não nula para qualquer m.
O vetor \overrightarrow{AB}=(-9,2m,2m) não é o vetor zero porque a primeira componente é -9. Assim a reta AB também é bem definida para qualquer m.
Portanto as soluções obtidas não esbarram em degenerescência e estão válidas.