Calcule o(s) valor(s) de m para o(s) qual(is) a reta r:\left\{\begin{array}{l}x=m y+3 \\\ z=(m+1) y-7\end{array}\right. seja ortogonal à reta determinada pelos pontos A(4,0, m) e B(-5,2 m, 3 m).

Passo 1

O enunciado dá uma reta r no espaço por duas equações que expressam x e z em função de y:
x = m\,y + 3
z = (m+1)\,y - 7
e dá dois pontos A(4,0,m) e B(-5,2m,3m).
A pergunta é: calcular todos os valores de m para os quais a reta r é ortogonal à reta que passa por A e B.\n
Lista das informações relevantes:
\text{Reta } r:\; x=m\,y+3,\quad z=(m+1)\,y-7.
A(4,0,m),\quad B(-5,2m,3m).

Passo 2

Entender como obter o vetor diretor de uma reta quando ela é dada por igualdades em função de um parâmetro.
Se eu tenho x=f(t), y=g(t), z=h(t) para uma reta parametrizada por t, o vetor diretor é dado pelos coeficientes de t (ou pelas derivadas \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}). Aqui as equações usam y como parâmetro, ou seja podemos tomar t=y. Então escrevemos:
x(t)=m t + 3,\quad y(t)=t,\quad z(t)=(m+1)t-7.
O vetor diretor de r é o vetor formado pelos coeficientes de t:
\vec{v}_r = (m,\;1,\;m+1).
Explicando o que isso significa: \vec{v}_r indica a direção da reta r; ao aumentar t em 1, x cresce em m, y cresce em 1 e z cresce em m+1.

Passo 3

Calcular o vetor diretor da reta determinada por A e B. O vetor \overrightarrow{AB} é B-A, componente a componente:
\overrightarrow{AB} = (-5-4,\;2m-0,\;3m-m) = (-9,\;2m,\;2m).
Chamamos esse vetor de \vec{v}_{AB} = (-9,\;2m,\;2m).

Passo 4

Recordar e explicar a condição de ortogonalidade entre duas retas em \mathbb{R}^3.
Duas retas são ortogonais se e somente se seus vetores diretores são ortogonais. Dois vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) são ortogonais quando o produto escalar (ou produto interno) é zero:
(a_1,a_2,a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3) = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0.
Aqui aplicamos isso a \vec{v}_r e \vec{v}_{AB}. A condição é:
\vec{v}_r\cdot\vec{v}_{AB} = 0.

Passo 5

Montar o produto escalar entre \vec{v}_r = (m,1,m+1) e \vec{v}_{AB}=(-9,2m,2m) e simplificar:
\vec{v}_r\cdot\vec{v}_{AB} = m\cdot(-9) + 1\cdot(2m) + (m+1)\cdot(2m).
Agora simplificamos passo a passo:
m\cdot(-9) = -9m,
1\cdot(2m) = 2m,
(m+1)\cdot(2m) = 2m(m+1) = 2m^2 + 2m.
Somando tudo:
\vec{v}_r\cdot\vec{v}_{AB} = -9m + 2m + (2m^2 + 2m) = 2m^2 + (-9m+2m+2m) = 2m^2 -5m.

Passo 6

Impor a condição de ortogonalidade \vec{v}_r\cdot\vec{v}_{AB}=0 e resolver para m:
2m^2 - 5m = 0.
Fatoramos:
m(2m-5)=0.
Logo as soluções são as raízes do produto:
m=0\quad\text{ou}\quad 2m-5=0\Rightarrow m=\frac{5}{2}.

Passo 7

Verificação de casos degenerados (importante para garantir que as soluções são válidas):
  • O vetor diretor de r é \vec{v}_r=(m,1,m+1). Ele nunca é o vetor zero porque a segunda componente é 1. Então a reta r é sempre bem definida e tem direção não nula para qualquer m.
  • O vetor \overrightarrow{AB}=(-9,2m,2m) não é o vetor zero porque a primeira componente é -9. Assim a reta AB também é bem definida para qualquer m.
    Portanto as soluções obtidas não esbarram em degenerescência e estão válidas.

Resposta

m=0
m=\dfrac{5}{2}

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