Calcular as equações da reta r que contém o ponto A(2,-1,1) e que interceptam a reta s : \left\{\begin{array}{c}x=1+2 t \\\ y=-1 \\\ z=t\end{array}\right. segundo um ângulo de \frac{\pi}{4} \mathrm{rad}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
  • Pede-se as equações da(s) reta(s) r que passam pelo ponto A(2,-1,1), que intersectam a reta s e que formam um ângulo de \frac{\pi}{4} rad com s.\n
  • A reta s é dada parametricamente por
x=1+2t,\qquad y=-1,\qquad z=t.
  • Informações úteis extraídas do enunciado:
    • Um ponto qualquer de s (função do parâmetro t) é
    P(t) = (1+2t,\,-1,\,t).
    • Um ponto fixo de s (quando t=0) é S_0=(1,-1,0).
    • O vetor diretor de s pode ser lido dos coeficientes de t:
    \vec{v}_s = (2,0,1).
  • O que precisamos encontrar: valores de t (ou seja, pontos de interseção P(t) em s) tais que a reta que liga A a P(t) tenha ângulo \frac{\pi}{4} com \vec{v}_s. Para cada t válido obtemos uma reta r.

Passo 2

Escrever o vetor diretor da reta r (que passa por A e por um ponto P(t)\in s).\n
  • Tome um ponto genérico de s:
P(t) = (1+2t,\,-1,\,t).
  • O vetor que liga A(2,-1,1) a P(t) é
\vec{u}(t) = \overrightarrow{AP(t)} = P(t)-A = (1+2t-2,\; -1-(-1),\; t-1).
  • Simplificando componentes,
\vec{u}(t) = (2t-1,\; 0,\; t-1).

Passo 3

Relembrando a fórmula do ângulo entre duas retas (vetores) e como vamos usá-la — uma mini-aula rápida e prática.\n
  • Se dois vetores \vec{u} e \vec{v} formam ângulo \theta, então vale a identidade (produto escalar)
\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\| \cos\theta,
onde \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar e \|\vec{u}\| é o comprimento (norma) de \vec{u}.\n
  • No nosso problema temos \theta=\frac{\pi}{4} e \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}. Para evitar raízes ao manipular a equação, usamos a forma quadrática
(\vec{u}\cdot\vec{v})^2 = \|\vec{u}\|^2 \|\vec{v}\|^2 \cos^2\theta.
  • Aqui \vec{u}=\vec{u}(t)=(2t-1,0,t-1) e \vec{v}=\vec{v}_s=(2,0,1). Substituiremos essas expressões na igualdade acima.

Passo 4

Calcular o produto escalar \vec{u}(t)\cdot\vec{v}_s.\n
  • Produto escalar por componentes:
\vec{u}(t)\cdot\vec{v}_s = (2t-1)\cdot 2 + 0\cdot 0 + (t-1)\cdot 1.
  • Fazendo as contas:
\vec{u}(t)\cdot\vec{v}_s = 4t -2 + t -1 = 5t - 3.

Passo 5

Calcular as normas (ao quadrado) \|\vec{u}(t)\|^2 e \|\vec{v}_s\|^2.\n
  • Norma ao quadrado de \vec{u}(t):
\|\vec{u}(t)\|^2 = (2t-1)^2 + 0^2 + (t-1)^2.
  • Expandindo:
(2t-1)^2 = 4t^2 -4t +1,\qquad (t-1)^2 = t^2 -2t +1.
  • Somando:
\|\vec{u}(t)\|^2 = (4t^2 -4t +1) + (t^2 -2t +1) = 5t^2 -6t +2.
  • Norma ao quadrado de \vec{v}_s:
\|\vec{v}_s\|^2 = 2^2 + 0^2 + 1^2 = 5.

Passo 6

Montar a equação do ângulo usando (\vec{u}\cdot\vec{v})^2 = \|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2\cos^2\theta e simplificar.\n
  • Substituindo:
(5t-3)^2 = (5t^2 -6t +2)\cdot 5 \cdot \cos^2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right).
  • Como \cos^2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\tfrac{1}{2}, obtemos
(5t-3)^2 = \tfrac{5}{2}\,(5t^2 -6t +2).
  • Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
2(5t-3)^2 = 5(5t^2 -6t +2).
  • Expandindo o lado esquerdo:
2(25t^2 -30t +9) = 50t^2 -60t +18.
  • Expandindo o lado direito:
5(5t^2 -6t +2) = 25t^2 -30t +10.
  • Igualando e simplificando:
50t^2 -60t +18 = 25t^2 -30t +10
\Rightarrow 25t^2 -30t +8 = 0.

Passo 7

Resolver a quadrática 25t^2 -30t +8 = 0.\n
  • Calcule o discriminante:
\Delta = (-30)^2 - 4\cdot 25\cdot 8 = 900 - 800 = 100.
  • Raiz quadrada do discriminante: \sqrt{\Delta}=10.
  • Fórmula de Bhaskara:
t = \frac{30 \pm 10}{2\cdot 25} = \frac{30 \pm 10}{50}.
  • Assim:
t_1 = \frac{40}{50} = \frac{4}{5},\qquad t_2 = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}.

Passo 8

Encontrar os pontos de interseção P(t_1) e P(t_2) em s.\n
  • Para t_1=\tfrac{4}{5},
P_1 = P\!\left(\tfrac{4}{5}\right) = \Big(1+2\cdot\tfrac{4}{5},\; -1,\; \tfrac{4}{5}\Big) = \Big(\tfrac{13}{5},\; -1,\; \tfrac{4}{5}\Big).
  • Para t_2=\tfrac{2}{5},
P_2 = P\!\left(\tfrac{2}{5}\right) = \Big(1+2\cdot\tfrac{2}{5},\; -1,\; \tfrac{2}{5}\Big) = \Big(\tfrac{9}{5},\; -1,\; \tfrac{2}{5}\Big).

Passo 9

Calcular os vetores diretores das retas r correspondentes a cada ponto de interseção (vetores \overrightarrow{AP_i}).\n
  • Para P_1:
\vec{u}_1 = \overrightarrow{AP_1} = P_1 - A = \Big(\tfrac{13}{5}-2,\; -1-(-1),\; \tfrac{4}{5}-1\Big) = \Big(\tfrac{3}{5},\;0,\; -\tfrac{1}{5}\Big).
  • Podemos multiplicar por 5 (direção não muda ao escalar) e obter um vetor diretor inteiro equivalente:
\vec{d}_1 = (3,0,-1).
  • Para P_2:
\vec{u}_2 = \overrightarrow{AP_2} = P_2 - A = \Big(\tfrac{9}{5}-2,\;0,\;\tfrac{2}{5}-1\Big) = \Big(-\tfrac{1}{5},\;0,\; -\tfrac{3}{5}\Big).
  • Multiplicando por 5 obtemos o vetor diretor inteiro equivalente:
\vec{d}_2 = (-1,0,-3).
(Observação amigável: podemos alternativamente usar (1,0,3) que tem sentido oposto; isso não altera a reta.)

Passo 10

Escrever as equações paramétricas das duas retas r que passam por A(2,-1,1) com os vetores diretores encontrados.\n
  • Para \vec{d}_1=(3,0,-1) a reta r_1 é
\boxed{\,x=2+3\lambda,\qquad y=-1,\qquad z=1-\lambda\,}
onde \lambda é o parâmetro da reta r_1.\n
  • Para \vec{d}_2=(-1,0,-3) a reta r_2 é
\boxed{\,x=2-\mu,\qquad y=-1,\qquad z=1-3\mu\,}
onde \mu é o parâmetro da reta r_2.\n
Essas duas retas passam por A, intersectam s nos pontos P_1 e P_2 respectivamente e fazem ângulo \tfrac{\pi}{4} com s.

Resposta

r_1:\;x=2+3\lambda,\;y=-1,\;z=1-\lambda\n
r_2:\;x=2-\mu,\;y=-1,\;z=1-3\mu

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