Calcular as equações da reta r que contém o ponto A(2,-1,1) e que interceptam a reta s : \left\{\begin{array}{c}x=1+2 t \\\ y=-1 \\\ z=t\end{array}\right. segundo um ângulo de \frac{\pi}{4} \mathrm{rad}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
Pede-se as equações da(s) reta(s) r que passam pelo ponto A(2,-1,1), que intersectam a reta s e que formam um ângulo de \frac{\pi}{4} rad com s.\n
A reta s é dada parametricamente por
x=1+2t,\qquad y=-1,\qquad z=t.
Informações úteis extraídas do enunciado:
Um ponto qualquer de s (função do parâmetro t) é
P(t) = (1+2t,\,-1,\,t).
Um ponto fixo de s (quando t=0) é S_0=(1,-1,0).
O vetor diretor de s pode ser lido dos coeficientes de t:
\vec{v}_s = (2,0,1).
O que precisamos encontrar: valores de t (ou seja, pontos de interseção P(t) em s) tais que a reta que liga A a P(t) tenha ângulo \frac{\pi}{4} com \vec{v}_s. Para cada t válido obtemos uma reta r.
Passo 2
Escrever o vetor diretor da reta r (que passa por A e por um ponto P(t)\in s).\n
onde \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar e \|\vec{u}\| é o comprimento (norma) de \vec{u}.\n
No nosso problema temos \theta=\frac{\pi}{4} e \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}. Para evitar raízes ao manipular a equação, usamos a forma quadrática
onde \mu é o parâmetro da reta r_2.\n
Essas duas retas passam por A, intersectam s nos pontos P_1 e P_2 respectivamente e fazem ângulo \tfrac{\pi}{4} com s.