Determine a posição relativa entre:
os planos -2 x+3 y+4 z=9 e 3 x-2 y+3 z=10.

Passo 1

O enunciado dá dois planos e pede a posição relativa entre eles. As informações fornecidas são:
\text{Plano }P_1:\;-2x+3y+4z=9
\text{Plano }P_2:\;3x-2y+3z=10
Pergunta: qual é a posição relativa entre P_1 e P_2? (ou seja, são paralelos distintos, coincidentes, ou se intersectam — e se intersectam, qual é a interseção?)

Passo 2

Vamos extrair uma informação fundamental de cada plano: o vetor normal. Lembra que um plano na forma \;ax+by+cz=d\; tem vetor normal \;(a,b,c), que é um vetor que aponta perpendicularmente ao plano. Para os planos dados:
\mathbf{n}_1 = (-2,\,3,\,4)
\mathbf{n}_2 = (3,\,-2,\,3)
Esses vetores normais nos dizem a orientação de cada plano no espaço.

Passo 3

Agora verificamos se \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são múltiplos escalares um do outro. Se existisse um k tal que \mathbf{n}_1=k\mathbf{n}_2, então os planos seriam paralelos (e poderiam ser coincidentes se as constantes do lado direito também obedecessem à mesma relação). Calculamos as razões coordenada a coordenada:
\frac{-2}{3},\qquad \frac{3}{-2},\qquad \frac{4}{3}
Essas três razões deveriam ser iguais para existir um k. Mas
\frac{-2}{3}\neq\frac{3}{-2}\neq\frac{4}{3},
portanto não existe k tal que \mathbf{n}_1=k\mathbf{n}_2. Logo os normais não são colineares.

Passo 4

Como os vetores normais não são paralelos, concluímos pela teoria geométrica básica que os planos não são paralelos; portanto eles se intersectam ao longo de uma reta. Explico por que: dois planos no espaço tridimensional ou são paralelos (normais paralelos) ou se cruzam numa reta (normais não paralelos). Não pode haver um único ponto de interseção entre dois planos diferentes.

Passo 5

Para ser mais completo e te ensinar a fazer isso na prova, vamos achar a reta interseção resolvendo o sistema formado pelas duas equações. Tomamos z como parâmetro, digamos z=t. As equações são
-2x+3y+4z=9
3x-2y+3z=10.
Substituindo z=t, temos o sistema em x,y:
-2x+3y+4t=9
3x-2y+3t=10.

Passo 6

Vamos eliminar x somando múltiplos adequados das equações. Multiplico a primeira por 3 e a segunda por 2:
-6x+9y+12t=27
6x-4y+6t=20.
Somando as duas equações cancelamos x:
5y+18t=47.
Isolando y,
y=\frac{47-18t}{5}.

Passo 7

Agora achamos x usando a segunda equação original. Reescrevendo
3x=10+2y-3t
x=\frac{10+2y-3t}{3}.
Substituímos y=\dfrac{47-18t}{5}:
2y=\frac{94-36t}{5},
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x=\frac{10+\dfrac{94-36t}{5}-3t}{3}=\frac{\dfrac{50+94-36t-15t}{5}}{3}=\frac{144-51t}{15}.
Simplificando por 3,
x=\frac{48-17t}{5}.

Passo 8

Portanto uma forma paramétrica da reta interseção é
x=\frac{48-17t}{5},\qquad y=\frac{47-18t}{5},\qquad z=t.
Podemos escrever isso em forma vetorial como
\mathbf{r}(t)=\left(\frac{48}{5},\frac{47}{5},0\right)+t\left(-\frac{17}{5},-\frac{18}{5},1\right).
Multiplicando o vetor diretor por -5 (apenas para ter inteiros) obtemos a mesma reta com vetor diretor (17,18,-5) ou, invertendo sinal, (-17,-18,5).

Passo 9

Uma verificação rápida (útil na prova): o vetor diretor da reta de interseção deve ser ortogonal a ambos os normais, isto é, proporcional ao produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Calculando
\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2=(17,18,-5),
o que confirma que a direção encontrada (-17,-18,5) (ou seu oposto) é correta.

Resposta

Os planos são secantes (intersectam-se ao longo de uma reta).
A reta de interseção pode ser escrita por
x=\frac{48-17t}{5},\qquad y=\frac{47-18t}{5},\qquad z=t.

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