Determine os valores de m para que as retas r:\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\\ y=m t \\\ z=4+5 t\end{array}\right. e s:\left\{\frac{x+5}{-1}=y+m=\frac{z-6}{m}\right. sejam:
ortogonais
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de m\) para que as retas
\[r:\begin{cases}x=2+2t\\[4pt] y=m t\\[4pt] z=4+5t\end{cases}
e
s:\frac{x+5}{-1}=y+m=\frac{z-6}{m}
sejam ortogonais.
Informações fornecidas: as expressões paramétricas de r\] (com parâmetro \(t) e a forma simétrica de s (com m aparecendo como parâmetro nos denominadores). A pergunta é apenas uma: para quais valores de m as retas são ortogonais?]
Passo 2
Vamos extrair o vetor diretor da reta r.
Regra prática: numa forma paramétrica
x=x_0+a t,\qquad y=y_0+b t,\qquad z=z_0+c t,
o vetor diretor é (a,b,c), porque esses são os coeficientes do parâmetro t. Aqui, comparando com r, temos a=2, b=m, c=5. Portanto o vetor diretor de r é
\mathbf{v}_r=(2,m,5).
Explicando devagar: o componente 2 indica quanto x aumenta quando eu aumento t em 1, o componente m indica quanto y aumenta quando t aumenta em 1, e o componente 5 faz o mesmo para z.
Passo 3
Agora precisamos do vetor diretor da reta s. A forma dada é simétrica:
\frac{x+5}{-1}=y+m=\frac{z-6}{m}.
Para transformar em forma paramétrica, igualamos tudo a um parâmetro, digamos u:
u=\frac{x+5}{-1}=y+m=\frac{z-6}{m}.
A partir daqui isolamos x,y,z em função de u:
x+5=-u\quad\Rightarrow\quad x=-u-5,
y+m=u\quad\Rightarrow\quad y=u-m,
z-6=mu\quad\Rightarrow\quad z=mu+6.
Os coeficientes de u nas três coordenadas dão o vetor diretor de s. Assim
\mathbf{v}_s = (-1,\,1,\,m).
Interpretando: ao variar u em 1, x muda em -1, y em 1 e z em m.
Passo 4
Condição de ortogonalidade entre retas: duas retas em \mathbb{R}^3 são ortogonais se, e somente se, seus vetores diretores são ortogonais. Dois vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) são ortogonais quando o produto escalar (ou dot product) é zero:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0.
Aqui vamos aplicar isso a \mathbf{v}_r e \mathbf{v}_s.
Passo 5
Calculemos o produto escalar \mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s. Substituindo \mathbf{v}_r=(2,m,5) e \mathbf{v}_s=(-1,1,m) temos
\mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s = 2\cdot(-1) + m\cdot 1 + 5\cdot m.
Verificação rápida: para m=\tfrac{1}{3} o produto escalar fica -2+6\cdot\tfrac{1}{3}=-2+2=0, ou seja, os vetores são realmente ortogonais.
Passo 7
Observação sobre validade: a forma simétrica de s contém \frac{z-6}{m}, portanto é necessário que m\neq 0 para que essa escrita faça sentido. Nosso valor m=\tfrac{1}{3} satisfaz isso, então está válido.