Calcular o escoamento de um liquido Herschel-Bulkley nas seguintes condições:
Exercício 1
Diâmetro (m) = 0,149
Velocidade (m/s)= 0,51
Densidade kg / m^{3}= 994
Tensão inicial Pa= 3,28
K Pas^n = 1,7
n = 0,39

Passo 1

Identificar o que o enunciado dá e o que ele pede. Dados fornecidos:
\text{Diâmetro }D=0,149\\ \text{m}â
\text{Velocidade média }V=0,51\\ \text{m/s}é
\text{Densidade }\rho=994\\ \text{kg/m}^3
\text{Tensão de escoamento (yield)}\\ \tau_0=3,28\\ \text{Pa}ã
K=1,7\\ \text{Pa}\cdot\text{s}^n
n=0,39
O enunciado apenas diz “Calcular o escoamento” — isto é ambíguo. Para ser útil na prova, vou calcular as quantidades físicas mais relevantes para um escoamento de Herschel–Bulkley em tubo circular, supondo escoamento permanente e totalmente desenvolvido laminar:
  • a vazão volumétrica Q;
  • a tensão de cisalhamento na parede \tau_w correspondente à velocidade média dada (isto permite obter a perda de carga por unidade de comprimento);
  • o gradiente de pressão (perda de carga por comprimento) -\dfrac{dP}{dz};
  • o raio do “plug” (região central não deformada) r_0;
  • a velocidade máxima (velocidade do plug) v_{\max}.
Essas escolhas são as que normalmente se pedem ao “calcular o escoamento” para um fluido Herschel–Bulkley em um tubo quando nos dão a velocidade média.

Passo 2

Relembrando a física básica e a formulação matemática que vamos usar (aula rápida e prática).
  1. Distribuição de tensões em escoamento totalmente desenvolvido em tubo: pelo balanço de momento para uma seção circular, a tensão de cisalhamento como função do raio r\) é linear em \(r\): \[\tau(r)=\tau_w\frac{r}{R}
onde R é o raio do tubo e \tau_w é a tensão de cisalhamento na parede (em r=R).
  1. Definição de fluido Herschel–Bulkley: a relação entre tensão de cisalhamento \tau e taxa de deformação (taxa de cisalhamento) \dot{\gamma} é
\begin{cases} \dot{\gamma}=0, & \text{se }\tau \le \tau_0,\\[6pt] \dot{\gamma}=\left(\dfrac{\tau-\tau_0}{K}\right)^{1/n}, & \text{se }\tau>\tau_0. \end{cases}
Isto significa que existe uma zona central (plug) onde \tau\le\tau_0\] e o fluido se desloca como corpo rígido; na região anular \(\tau>\tau_0 há deformação e o perfil de velocidade varia.
  1. Relação entre taxa de cisalhamento e perfil de velocidade em coordenadas cilíndricas (escoamento unidimensional, eixo z):
\dot{\gamma}(r)=-\dfrac{dv}{dr}.
Tomamos convenção tal que v(R)=0 na parede.
  1. Ponto onde \tau(r)=\tau_0 define o raio do plug r_0. Da expressão linear:
\tau_0=\tau_w\frac{r_0}{R}\quad\Rightarrow\quad r_0=\frac{\tau_0}{\tau_w}R.
  1. A vazão volumétrica é
Q=2\pi\int_0^R v(r)\,r\,dr.
Faremos a integral separando a contribuição do plug ( 0\le r\le r_0 ) e da região de cisalhamento ( r_0\le r\le R ).
Agora que temos as fórmulas básicas, no Passo 3 derivamos a relação explícita entre Q e \tau_w para o fluido Herschel–Bulkley, que nos permitirá encontrar \tau_w a partir de Q (ou vice-versa).]

Passo 3

Derivação da relação Q(\tau_w) (passo-a-passo, sem pular etapas).
Começamos pelo perfil de velocidades na região de cisalhamento r_0\le r\le R. Para r\ge r_0 temos \tau(r)=\tau_w\frac{r}{R}>\tau_0, então
\dot{\gamma}(r)=\left(\dfrac{\tau_w\frac{r}{R}-\tau_0}{K}\right)^{1/n}.
Como \dot{\gamma}=-\dfrac{dv}{dr} e v(R)=0, integrando de r até R:
v(r)=\int_r^R \left(\dfrac{\tau_w\frac{s}{R}-\tau_0}{K}\right)^{1/n} ds.
No plug ( 0\le r\le r_0) a velocidade é constante e igual a v(r_0).
A vazão é soma do plug mais do anel:
Q=\underbrace{\pi r_0^2 v(r_0)}_{\text{plug}}+2\pi\int_{r_0}^R v(r)\,r\,dr.
Usando uma troca de ordem de integração (técnica padrão para esse tipo de integral) chega-se à expressão compacta
Q=\pi\int_{r_0}^R s^2 \left(\dfrac{\tau_w\frac{s}{R}-\tau_0}{K}\right)^{1/n} ds.
Agora fazemos a mudança de variável adimensional u=\dfrac{s}{R}. Então s=Ru, ds=Rdu, e u varia de a até 1, onde definimos
a=\frac{r_0}{R}=\frac{\tau_0}{\tau_w}.
Substituindo:
Q=\pi R^3\left(\dfrac{\tau_w}{K}\right)^{1/n}\int_a^1 u^2 (u-a)^{1/n} du.
Para facilitar a integração, definimos m=\dfrac{1}{n} (note que m>1 aqui porque n=0,39). Então a integral é
I(a)=\int_a^1 u^2 (u-a)^m du.
Fazendo a mudança linear t=\dfrac{u-a}{1-a} (ou seja, u=a+(1-a)t), a integral pode ser desenvolvida em termos de integrais simples de potências resultando na expressão fechada
I(a)=(1-a)^{m+1}\left[\frac{a^2}{m+1}+\frac{2a(1-a)}{m+2}+\frac{(1-a)^2}{m+3}\right].
Portanto a relação final entre Q e \tau_w é
\boxed{\,Q=\pi R^3\left(\dfrac{\tau_w}{K}\right)^{m}\,(1-a)^{m+1}\left[\frac{a^2}{m+1}+\frac{2a(1-a)}{m+2}+\frac{(1-a)^2}{m+3}\right],}
com a=\dfrac{\tau_0}{\tau_w} e m=\dfrac{1}{n}.
Esta equação é implícita em \tau_w (pois a depende de \tau_w). O procedimento prático na prova é:
  • calcular Q a partir da velocidade média dada;
  • resolver numericamente a equação acima por tentativas até achar \tau_w;
  • então obter r_0, o gradiente de pressão e o perfil/velocidade máxima.
No Passo 4 faço os cálculos numéricos.

Passo 4

Cálculo numérico dos parâmetros geométricos e constantes iniciais.
Calcular raio R, área e vazão:
R=\frac{D}{2}=\frac{0,149}{2}=0,0745\\ \text{m}.
Área da secção:
A=\pi R^2=\pi\,(0,0745)^2\approx 0,017443\\ \text{m}^2.
Vazão Q=A\cdot V:
Q=\pi R^2 V\approx 0,017443\cdot 0,51\approx 0,008896\\ \text{m}^3\!/s.
Definimos também
m=\frac{1}{n}=\frac{1}{0,39}\approx 2,56410256.
E o fator geométrico
\pi R^3\approx \pi\,(0,0745)^3\approx 0,0012994\\ \text{m}^3.

Passo 5

Resolver numericamente a equação para \tau_w.
A equação a resolver é (repetindo)
Q=\pi R^3\left(\dfrac{\tau_w}{K}\right)^{m}S(a),
onde
S(a)=(1-a)^{m+1}\left[\frac{a^2}{m+1}+\frac{2a(1-a)}{m+2}+\frac{(1-a)^2}{m+3}\right], \quad a=\frac{\tau_0}{\tau_w}.
Procedimento de tentativa (mostro iterações para você aprender a fazer na prova):
  • Testei \tau_w=10\\ \text{Pa}: obtive Q\approx 0,00616\\ \text{m}^3\!/s (menor que o real).
  • Testei \tau_w=15\\ \text{Pa}: obtive Q\approx 0,0286\\ \text{m}^3\!/s (maior que o real).
  • Refinei para \tau_w=10{,}8\\ \text{Pa}: Q\approx 0,008435\\ \text{m}^3\!/s (ainda um pouco menor que o real).
  • Refinei para \tau_w=11{,}5\\ \text{Pa}: Q\approx 0,01071\\ \text{m}^3\!/s (maior).
  • Interpolando e refinando cheguei a \tau_w\approx 10{,}94\\ \text{Pa}, para o qual a fórmula dá
Q\approx 0,008880\\ \text{m}^3\!/s,
muito próximo do valor desejado 0,008896\\ \text{m}^3\!/s. Essa diferença é négligenciável para cálculos de engenharia nesta situação — podemos aceitar \tau_w\approx 10{,}94\\ \text{Pa}.
(Observação didática: em prova você pode fazer 3–5 tentativas e interpolar linearmente para convergir rápido; também é possível aplicar um método de Newton–Raphson se souber derivar a função, mas tentativas guiadas são suficientes.)

Passo 6

Calcular as quantidades secundárias a partir de \tau_w.
  1. Plug radius r_0:
a=\frac{\tau_0}{\tau_w}=\frac{3,28}{10{,}94}\approx 0,300,
r_0=aR\approx 0,300\cdot 0,0745\approx 0,02235\\ \text{m}.
  1. Gradiente de pressão (perda de carga por unidade de comprimento). A relação entre tensão de parede e gradiente é
\tau_w=\frac{R}{2}\left(-\dfrac{dP}{dz}\right).
Logo
-\dfrac{dP}{dz}=\frac{2\tau_w}{R}\approx\frac{2\cdot 10{,}94}{0,0745}\approx 293{,}8\\ \text{Pa/m}.
(ou seja, perda de carga específica aprox. 294\\ \text{Pa} por metro de tubo).
  1. Velocidade máxima (velocidade do plug) v_{\max}=v(r_0). Usando a expressão derivada:
v(r_0)=R\left(\dfrac{\tau_w}{K}\right)^{m}\frac{(1-a)^{m+1}}{m+1}.
Substituindo os números (com (\tau_w/K)^m calculado nas iterações) dá aproximadamente
v_{\max}\approx 0,696\\ \text{m/s}.
Note que a velocidade média dada é 0,51\\ \text{m/s}, então v_{\max} maior que a média é coerente.

Passo 7

Interpretação e dicas para prova (resumindo o que fizemos e como aplicar rápido na prova)
  • Primeiro calcule Q=\pi R^2 V (é simples).
  • Use a expressão fechada que derivei (aquela com S(a)) para relacionar Q e \tau_w.
  • Resolva \tau_w numericamente por tentativa/interpolação (poucas iterações bastam).
  • A partir de \tau_w calcule r_0, o gradiente de pressão -dP/dz=2\tau_w/R, e v_{\max} pela fórmula direta dada.
  • Se precisar da perda de carga em termos de L, multiplique -dP/dz por L.

Resposta

Q\approx 0,008896\\ \text{m}^3\!/s
\tau_w\approx 10{,}94\\ \text{Pa}
-\dfrac{dP}{dz}\approx 293{,}8\\ \text{Pa/m}
r_0\approx 0,02235\\ \text{m}
v_{\max}\approx 0,696\\ \text{m/s}

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