Calcular o escoamento de um liquido Herschel-Bulkley nas seguintes condições:
Exercício 1
Diâmetro (m) = 0,149
Velocidade (m/s)= 0,51
Densidade kg / m^{3}= 994
Tensão inicial Pa= 3,28
K Pas^n = 1,7 n = 0,39
Passo 1
Identificar o que o enunciado dá e o que ele pede. Dados fornecidos:
\text{Diâmetro }D=0,149\\ \text{m}
\text{Velocidade média }V=0,51\\ \text{m/s}
\text{Densidade }\rho=994\\ \text{kg/m}^3
\text{Tensão de escoamento (yield)}\\ \tau_0=3,28\\ \text{Pa}
K=1,7\\ \text{Pa}\cdot\text{s}^n
n=0,39
O enunciado apenas diz “Calcular o escoamento” — isto é ambíguo. Para ser útil na prova, vou calcular as quantidades físicas mais relevantes para um escoamento de Herschel–Bulkley em tubo circular, supondo escoamento permanente e totalmente desenvolvido laminar:
a vazão volumétrica Q;
a tensão de cisalhamento na parede \tau_w correspondente à velocidade média dada (isto permite obter a perda de carga por unidade de comprimento);
o gradiente de pressão (perda de carga por comprimento) -\dfrac{dP}{dz};
o raio do “plug” (região central não deformada) r_0;
a velocidade máxima (velocidade do plug) v_{\max}.
Essas escolhas são as que normalmente se pedem ao “calcular o escoamento” para um fluido Herschel–Bulkley em um tubo quando nos dão a velocidade média.
Passo 2
Relembrando a física básica e a formulação matemática que vamos usar (aula rápida e prática).
Distribuição de tensões em escoamento totalmente desenvolvido em tubo: pelo balanço de momento para uma seção circular, a tensão de cisalhamento como função do raio r\) é linear em \(r\):
\[\tau(r)=\tau_w\frac{r}{R}
onde R é o raio do tubo e \tau_w é a tensão de cisalhamento na parede (em r=R).
Definição de fluido Herschel–Bulkley: a relação entre tensão de cisalhamento \tau e taxa de deformação (taxa de cisalhamento) \dot{\gamma} é
Isto significa que existe uma zona central (plug) onde \tau\le\tau_0\] e o fluido se desloca como corpo rígido; na região anular \(\tau>\tau_0 há deformação e o perfil de velocidade varia.
Relação entre taxa de cisalhamento e perfil de velocidade em coordenadas cilíndricas (escoamento unidimensional, eixo z):
\dot{\gamma}(r)=-\dfrac{dv}{dr}.
Tomamos convenção tal que v(R)=0 na parede.
Ponto onde \tau(r)=\tau_0 define o raio do plug r_0. Da expressão linear:
Faremos a integral separando a contribuição do plug ( 0\le r\le r_0 ) e da região de cisalhamento ( r_0\le r\le R ).
Agora que temos as fórmulas básicas, no Passo 3 derivamos a relação explícita entre Q e \tau_w para o fluido Herschel–Bulkley, que nos permitirá encontrar \tau_w a partir de Q (ou vice-versa).]
Passo 3
Derivação da relação Q(\tau_w) (passo-a-passo, sem pular etapas).
Começamos pelo perfil de velocidades na região de cisalhamento r_0\le r\le R. Para r\ge r_0 temos \tau(r)=\tau_w\frac{r}{R}>\tau_0, então
Usando uma troca de ordem de integração (técnica padrão para esse tipo de integral) chega-se à expressão compacta
Q=\pi\int_{r_0}^R s^2 \left(\dfrac{\tau_w\frac{s}{R}-\tau_0}{K}\right)^{1/n} ds.
Agora fazemos a mudança de variável adimensional u=\dfrac{s}{R}. Então s=Ru, ds=Rdu, e u varia de a até 1, onde definimos
a=\frac{r_0}{R}=\frac{\tau_0}{\tau_w}.
Substituindo:
Q=\pi R^3\left(\dfrac{\tau_w}{K}\right)^{1/n}\int_a^1 u^2 (u-a)^{1/n} du.
Para facilitar a integração, definimos m=\dfrac{1}{n} (note que m>1 aqui porque n=0,39). Então a integral é
I(a)=\int_a^1 u^2 (u-a)^m du.
Fazendo a mudança linear t=\dfrac{u-a}{1-a} (ou seja, u=a+(1-a)t), a integral pode ser desenvolvida em termos de integrais simples de potências resultando na expressão fechada
Procedimento de tentativa (mostro iterações para você aprender a fazer na prova):
Testei \tau_w=10\\ \text{Pa}: obtive Q\approx 0,00616\\ \text{m}^3\!/s (menor que o real).
Testei \tau_w=15\\ \text{Pa}: obtive Q\approx 0,0286\\ \text{m}^3\!/s (maior que o real).
Refinei para \tau_w=10{,}8\\ \text{Pa}: Q\approx 0,008435\\ \text{m}^3\!/s (ainda um pouco menor que o real).
Refinei para \tau_w=11{,}5\\ \text{Pa}: Q\approx 0,01071\\ \text{m}^3\!/s (maior).
Interpolando e refinando cheguei a \tau_w\approx 10{,}94\\ \text{Pa}, para o qual a fórmula dá
Q\approx 0,008880\\ \text{m}^3\!/s,
muito próximo do valor desejado 0,008896\\ \text{m}^3\!/s. Essa diferença é négligenciável para cálculos de engenharia nesta situação — podemos aceitar \tau_w\approx 10{,}94\\ \text{Pa}.
(Observação didática: em prova você pode fazer 3–5 tentativas e interpolar linearmente para convergir rápido; também é possível aplicar um método de Newton–Raphson se souber derivar a função, mas tentativas guiadas são suficientes.)
Passo 6
Calcular as quantidades secundárias a partir de \tau_w.