Calcular a esfericidade de: Um grão de arroz (supor que o arroz é um esferóide prolato com eixos iguais a 8 mm e 3 mm ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a esfericidade de um grão de arroz, que estamos considerando como um esferóide prolato com eixos de 8 mm e 3 mm. Vamos precisar usar conceitos de geometria dos sólidos, especificamente para esferoides, além de fórmulas para volume e área de superfície. No final, vamos aplicar a fórmula da esfericidade para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do esferóide prolato. A fórmula para o volume V = 43 pi a^2 c de um esferóide prolato é:
V = 43 pi (4)^2 (1.5) = 43 pi times 16 times 1.5 = 43 pi times 24 = 32 pi , mm^3
onde:
  • é o eixo semi-menor (no nosso caso, metade de 8 mm, então mm),
  • é o eixo semi-maior (metade de 3 mm, então mm).
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da superfície A approx 2 pi a^2 (1 + ce sin^-1 e ) do esferóide prolato. A fórmula para a área de superfície de um esferóide prolato é um pouco mais complicada e envolve integrais, mas podemos usar uma aproximação:
e = raiz1 - (ac)^2
onde e = raiz1 - (41.5)^2 = raiz1 - (162.25) = raiz1 - 7.111 (Imaginamos que houve um erro aqui, já que e ) deve ser menor que 1) é a excentricidade dada por:
c = 4 , mm, a = 1.5 , mm
Calculando e = raiz1 - (1.54)^2 = raiz1 - (2.2516) = raiz1 - 0.1406 = raiz0.8594 approx 0.927 :
Na verdade, para um esferóide prolato, A approx 2 pi (1.5)^2 (1 + 40.927 sin^-1 0.927 ) , o que não é o caso aqui (pois 3 mm é menor que 8 mm). Parece que houve uma confusão nos eixos. Vamos corrigir:
Como é prolato, o eixo maior sin^-1 0.927 approx 1.183 , radianos deve ser maior que A approx 2 pi times 2.25 (1 + 40.927 times 1.183 ) = 4.5 pi (1 + 5.12 ) = 4.5 pi times 6.12 approx 4.5 times 3.1416 times 6.12 approx 86.7 , mm^2 . Portanto, considerando que o eixo maior é 8 mm e o menor é 3 mm:
Agora, recalculando :
Agora, calculando a área :
Primeiro, calculamos :
Então,

Passo 4

Agora que temos o volume psi = pi^1/3 (6V)^2/3A e a área 6V = 6 times 32 pi = 192 pi , podemos calcular a esfericidade (192 pi)^2/3 = (192)^2/3 times (pi)^2/3 usando a fórmula:
192^2/3 = (64 times 3)^2/3 = 64^2/3 times 3^2/3 = 16 times 2.0801 approx 33.2816
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, psi = pi times 33.281686.7 approx 104.53286.7 approx 1.205 :
Então, :
Calculando :
E .
Então,

Resposta

A esfericidade do grão de arroz é aproximadamente 1,205.

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