Calcular a esfericidade de: Um grão de arroz (supor que o arroz é um esferóide prolato com eixos iguais a 8 mm e 3 mm ).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a esfericidade de um grão de arroz, que estamos considerando como um esferóide prolato com eixos de 8 mm e 3 mm. Vamos precisar usar conceitos de geometria dos sólidos, especificamente para esferoides, além de fórmulas para volume e área de superfície. No final, vamos aplicar a fórmula da esfericidade para encontrar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do esferóide prolato. A fórmula para o volume
de um esferóide prolato é:
onde:
-
é o eixo semi-menor (no nosso caso, metade de 8 mm, então mm), -
é o eixo semi-maior (metade de 3 mm, então mm).
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da superfície
do esferóide prolato. A fórmula para a área de superfície de um esferóide prolato é um pouco mais complicada e envolve integrais, mas podemos usar uma aproximação:
onde
é a excentricidade dada por:
Calculando
:
Na verdade, para um esferóide prolato,
, o que não é o caso aqui (pois 3 mm é menor que 8 mm). Parece que houve uma confusão nos eixos. Vamos corrigir:
Como é prolato, o eixo maior
deve ser maior que
. Portanto, considerando que o eixo maior é 8 mm e o menor é 3 mm:
Agora, recalculando
:
Agora, calculando a área
:
Primeiro, calculamos
:
Então,
Passo 4
Agora que temos o volume
e a área
, podemos calcular a esfericidade
usando a fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro,
:
Então,
:
Calculando
:
E
.
Então,
Resposta
A esfericidade do grão de arroz é aproximadamente 1,205.