Determinar a e b para que o sistema
l (a-b) x+(a^2-b^2) y=a (a+b) x+(a^2+b^2) y=b
seja possível e determinado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de a e b que fazem com que o sistema de equações abaixo tenha uma única solução possível:
l (a - b) x + (a^2 - b^2) y = a (a + b) x + (a^2 + b^2) y = b
Para isso, vamos usar conhecimentos de sistemas lineares e determinar quando o sistema é possível e determinado, ou seja, quando tem uma única solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sistema de duas equações com duas incógnitas é possível e determinado quando as equações são linearmente independentes. Isso acontece quando o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero.
A matriz dos coeficientes do nosso sistema é:
a - b & a^2 - b^2 a + b & a^2 + b^2

Passo 3

Vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 2 times 2 é dado por:
det = (a - b)(a^2 + b^2) - (a + b)(a^2 - b^2)

Passo 4

Vamos expandir e simplificar essa expressão:
Primeiro, expandimos os produtos:
det = a(a^2 + b^2) - b(a^2 + b^2) - a(a^2 - b^2) - b(a^2 - b^2)
Simplificando cada termo:
= a^3 + a b^2 - a b^2 - b^3 - a^3 + a b^2 - b a^2 + b^3

Passo 5

Agora, vamos cancelar os termos que se anulam:
  • a^3 - a^3 = 0
  • -b^3 + b^3 = 0
  • a b^2 - a b^2 = 0
Ficamos com:
det = -b a^2 + a b^2
Podemos fatorar a b :
det = a b (-a + b) = a b (b - a)

Passo 6

Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante deve ser diferente de zero:
a b (b - a) neq 0
Isso significa que cada fator não pode ser zero:
  1. a neq 0
  2. b neq 0
  3. b - a neq 0 ou seja, b neq a

Passo 7

Então, os valores de a e b devem satisfazer as seguintes condições:
  • a não pode ser zero.
  • b não pode ser zero.
  • a e b devem ser diferentes um do outro.

Resposta

Para que o sistema seja possível e determinado, os valores de a e b devem satisfazer:
a neq 0, b neq 0 e a neq b

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