Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L13) lim y +infty 1-e^1 / y-3y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular lim y +infty 1-e^1 / y-3y usando a Regra de L’Hôpital. Para isso, vamos precisar entender o que é a Regra de L’Hôpital e quando ela pode ser aplicada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando y tende a +infty . Quando y fica muito grande, 1y aproxima-se de 0. Então, e^1/y tende a e^0 = 1 . Assim, o numerador 1 - e^1/y se aproxima de 1 - 1 = 0 .

Passo 3

No denominador, temos -3y . Quando y vai para +infty , esse termo também tende a 0, porque 3y fica cada vez menor. Então, o denominador também se aproxima de 0.

Passo 4

Como ambos o numerador e o denominador tendem a 0, temos uma forma indeterminada 00 . Nesse caso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente para calcular o limite.

Passo 5

Vamos derivar o numerador 1 - e^1/y em relação a y :
ddy(1 - e^1/y) = 0 - e^1/y cdot (-1y^2) = e^1/yy^2

Passo 6

Agora, vamos derivar o denominador -3y em relação a y :
ddy(-3y) = -3 cdot (-1y^2) = 3y^2

Passo 7

Com as derivadas, o limite original se transforma em:
limy to +infty e^1/yy^23y^2 = limy to +infty e^1/y3

Passo 8

Agora, observamos que, conforme y tende a +infty , 1y tende a 0, então e^1/y tende a e^0 = 1 . Assim, o limite fica:
13

Resposta

O limite é 13.

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