Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L13)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular
usando a Regra de L’Hôpital. Para isso, vamos precisar entender o que é a Regra de L’Hôpital e quando ela pode ser aplicada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando
tende a
. Quando
fica muito grande,
aproxima-se de 0. Então,
tende a
. Assim, o numerador
se aproxima de
.
Passo 3
No denominador, temos
. Quando
vai para
, esse termo também tende a 0, porque
fica cada vez menor. Então, o denominador também se aproxima de 0.
Passo 4
Como ambos o numerador e o denominador tendem a 0, temos uma forma indeterminada
. Nesse caso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente para calcular o limite.
Passo 5
Vamos derivar o numerador
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos derivar o denominador
em relação a
:
Passo 7
Com as derivadas, o limite original se transforma em:
Passo 8
Agora, observamos que, conforme
tende a
,
tende a 0, então
tende a
. Assim, o limite fica:
Resposta
O limite é
.