Escreva F(x) na forma f(g(x)) e encontre sua derivada.
  1. F(x)=sen(4 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para escrever a função F(x) = sin(4x) na forma composta f(g(x)) e depois encontrar sua derivada. Nesse processo, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever F(x) como uma função composta f(g(x)) . Pense nisso como uma função dentro da outra. Aqui, podemos identificar:
  • g(x) = 4x (essa é a parte interna)
  • f(u) = sin(u) (essa é a parte externa, onde u = g(x) )
Então, temos:
F(x) = f(g(x)) = sin(4x)

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada de F(x) , vamos usar a regra da cadeia. Essa regra é útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. A regra da cadeia diz que a derivada de f(g(x)) é:
F'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x)

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de f(u) e g(x) :
  • Derivada de f(u) = sin(u) :
f'(u) = cos(u)
  • Derivada de g(x) = 4x :
g'(x) = 4

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, substituímos u = g(x) na derivada de f(u) :
F'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x) = cos(4x) cdot 4

Resposta

A derivada de F(x) = sin(4x) é:
F'(x) = 4,cos(4x)

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