Expresse d yd x em termos de x e y, em que y=f(x) é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
§ tg(y)=x y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
tg(y)=x,y
onde y=f(x) é diferenciável, e pede dydx em termos de x e y. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando a derivada em ambos os lados e depois isolar dydx.

Passo 2

Derivando o lado esquerdo tg(y) em relação a x, aplicamos a regra da cadeia:
ddx[tg(y)] = sec^2(y),dydx
No lado direito, derivamos o produto x,y usando a regra do produto:
ddx[x,y] = 1cdot y + xcdot dydx = y + x,dydx

Passo 3

Igualando as derivadas dos dois lados, obtemos
sec^2(y),dydx = y + x,dydx
Agora agrupamos os termos que contêm dydx:
sec^2(y),dydx - x,dydx = y Longrightarrow l(sec^2(y)-xr),dydx = y

Passo 4

Por fim, isolamos dydx dividindo ambos os lados por sec^2(y)-x:
dydx = ysec^2(y)-x

Resposta

dydx=ysec^2(y)-x

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