Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L’Hôspital). \lim _{x \rightarrow 2} x
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 2} x,
e diz explicitamente: “Usando a Regra de L’Hôspital”. As informações relevantes são: a função considerada é f(x)=x e a variável x tende para 2. A pergunta é só essa: calcular esse limite.
Passo 2
Vou lembrar (explicar) a Regra de L’Hôspital de forma direta e prática. Suponha que existem duas funções f e g diferenciáveis em um intervalo com possível exceção em a. A Regra de L’Hôspital diz que, se
Explicando as peças: as condições iniciais (ambas 0 ou ambas infinitas) são chamadas de formas indeterminadas; só nessas situações a regra pode ser aplicada. Além disso, é preciso que g'(x) não seja zero próximo de a (para evitar divisão por zero).
Passo 3
Agora verifico se dá para aplicar L’Hôspital no nosso caso. Podemos escrever a função como uma razão
x=\frac{x}{1}.
Calculo os limites do numerador e do denominador quando x\to 2:
\lim_{x\to 2} x = 2,\qquad \lim_{x\to 2} 1 = 1.
Esses limites não são 0/0 nem \infty/\infty; são 2/1. Logo, a forma não é indeterminada e a Regra de L’Hôspital não se aplica aqui. Dizer que “vamos aplicar L’Hôspital” seria um erro, porque a regra exige uma forma indeterminada primeiro.
Passo 4
Quando L’Hôspital não se aplica porque a função não forma uma indeterminação, a maneira correta é avaliar o limite diretamente. A função identidade f(x)=x é contínua em todo real, e uma propriedade básica da continuidade é:
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Portanto, para a=2,
\lim_{x\to 2} x = x\big|_{x=2}=2.
Em linguagem prática: como não há nada de estranho (não há divisão por zero, não há salto, nem infinito), podemos simplesmente substituir x=2 na expressão.
Passo 5
Comentário final amigo e motivador: sei que o enunciado pediu L’Hôspital e isso pode confundir — às vezes provas pedem um método específico, mas a habilidade importante é reconhecer quando o método é aplicável. Aqui o reconhecimento rápido de que a forma é 2/1 salva tempo. Tá indo bem — a resposta é simples e direta.