Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L’Hôspital).
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{x\to 2} \frac{x^{3}-8}{x-2}.
Informações dadas e observações imediatas:
x^{3}-8\bigg|_{x=2} = 2^{3}-8 = 0,
x-2\bigg|_{x=2} = 0.
Portanto, ao substituir x=2 obtemos a forma \frac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não dá para concluir o valor do limite só avaliando diretamente — precisamos de uma técnica para calcular.

Passo 2

Apresentando a Regra de L’Hôspital (de forma didática e sem jargões):
A Regra de L’Hôspital diz o seguinte: se ao calcular \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} obtemos uma forma indeterminada do tipo \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}, e se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente no próprio a), e g'(x)\neq 0 perto de a, então podemos substituir o limite original pelo limite dos quocientes das derivadas:
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty). Intuição curta: quando f(a)=g(a)=0, o comportamento próximo de a é dominado pelas derivadas (as retas tangentes), então comparar as derivadas faz sentido.

Passo 3

Verificando as hipóteses para o nosso caso:
  • f(x)=x^{3}-8 e g(x)=x-2 são polinômios, logo são diferenciáveis em toda parte (então a condição de diferenciabilidade está satisfeita).
  • Ao avaliar em x=2 temos a forma \frac{0}{0}, como vimos no Passo 1.
    Portanto, podemos aplicar a Regra de L’Hôspital.

Passo 4

Calcule as derivadas necessárias (mostrando passo a passo como derivar):
  • Derivada de f(x)=x^{3}-8:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3}) - \frac{d}{dx}(8) = 3x^{2} - 0 = 3x^{2}.
Explicando: para x^{3} usamos a regra de potência: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Para constante a derivada é zero.
  • Derivada de g(x)=x-2:
g'(x)=\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(2)=1-0=1.
Pronto: as derivadas são f'(x)=3x^{2} e g'(x)=1.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôspital:
\lim_{x\to 2}\frac{x^{3}-8}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 2}\frac{3x^{2}}{1} = \lim_{x\to 2} 3x^{2}.
Agora basta avaliar a função contínua 3x^{2} em x=2:
3\cdot 2^{2} = 3\cdot 4 = 12.
Logo o limite é 12.

Passo 6

Cheque rápido (opcional, mas útil para fixar): fatorando o numerador (isso não substitui o uso de L’Hôspital, só confirma o resultado)
x^{3}-8 = (x-2)(x^{2}+2x+4).
Então
\frac{x^{3}-8}{x-2} = x^{2}+2x+4 \quad \text{(para }x\neq 2\text{)},
e tomando x\to 2 obtemos
2^{2}+2\cdot 2+4 = 4+4+4 = 12,
coerente com o resultado pelo método de L’Hôspital.

Resposta

\;12

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