Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L’Hôspital). \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{x-2}
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{x\to 2} \frac{x^{3}-8}{x-2}.
Informações dadas e observações imediatas:
x^{3}-8\bigg|_{x=2} = 2^{3}-8 = 0,
x-2\bigg|_{x=2} = 0.
Portanto, ao substituir x=2 obtemos a forma \frac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não dá para concluir o valor do limite só avaliando diretamente — precisamos de uma técnica para calcular.
Passo 2
Apresentando a Regra de L’Hôspital (de forma didática e sem jargões):
A Regra de L’Hôspital diz o seguinte: se ao calcular \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} obtemos uma forma indeterminada do tipo \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}, e se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente no próprio a), e g'(x)\neq 0 perto de a, então podemos substituir o limite original pelo limite dos quocientes das derivadas:
desde que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty). Intuição curta: quando f(a)=g(a)=0, o comportamento próximo de a é dominado pelas derivadas (as retas tangentes), então comparar as derivadas faz sentido.
Passo 3
Verificando as hipóteses para o nosso caso:
f(x)=x^{3}-8 e g(x)=x-2 são polinômios, logo são diferenciáveis em toda parte (então a condição de diferenciabilidade está satisfeita).
Ao avaliar em x=2 temos a forma \frac{0}{0}, como vimos no Passo 1.
Portanto, podemos aplicar a Regra de L’Hôspital.
Passo 4
Calcule as derivadas necessárias (mostrando passo a passo como derivar):