Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L’Hôspital).
Passo 1
O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
Informações dadas: a função dentro do limite é o polinômio
; e o ponto de aproximação é
. O enunciado pede que usemos a Regra de L’Hôpital, então vou verificar se essa regra é aplicável antes de tentar usá‑la.
Passo 2
Primeiro faço a substituição direta para ver se obtemos um valor finito ou uma forma indeterminada:
Faço as contas passo a passo:
Continuando:
Portanto a substituição direta fornece o número
.
Passo 3
Agora a explicação sobre a Regra de L’Hôpital (aulas rápidas e práticas). A Regra de L’Hôpital diz que, se tivermos um limite do tipo
e ao substituir
obtemos uma forma indeterminada
ou
, então, sob hipóteses técnicas (derivabilidade em torno de
e
perto de
), podemos calcular
quando esse segundo limite existir ou for
. Importante: a regra só vale para quocientes que apresentem uma forma indeterminada apropriada.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso: a expressão dada não é um quociente indeterminado — é um polinômio simples. Poderíamos escrever artificialmente
mas ao avaliar em
obtemos
, que não é uma forma
nem
. Logo, a Regra de L’Hôpital não se aplica aqui (não é válida usar L’Hôpital quando não há forma indeterminada). Calma — isso é bom: significa que o limite é fácil de calcular.
Além disso, uma observação teórica útil e muito usada na prova: polinômios são funções contínuas em todo
. Para uma função contínua
, vale
Então podemos simplesmente avaliar o polinômio em
— foi o que fiz no Passo 2.
Passo 5
Repetindo com clareza a conta final (do jeito que você pode fazer na prova, sem calculadora complicada):
Portanto o limite existe e vale
. Força aí — você já resolveu a parte mais chata: identificar que L’Hôpital não se aplica e usar continuidade para concluir.