Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L’Hôspital).
\lim _{x \rightarrow 2} \{4 x^{2}-5 x+3\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{x\to 2}\{4x^{2}-5x+3\}.
Informações dadas: a função dentro do limite é o polinômio \;4x^{2}-5x+3; e o ponto de aproximação é x=2. O enunciado pede que usemos a Regra de L’Hôpital, então vou verificar se essa regra é aplicável antes de tentar usá‑la.

Passo 2

Primeiro faço a substituição direta para ver se obtemos um valor finito ou uma forma indeterminada:
4(2)^{2}-5(2)+3.
Faço as contas passo a passo:
(2)^{2}=4,
4\cdot 4=16,
5\cdot 2=10,
16-10+3.
Continuando:
16-10=6,
6+3=9.
Portanto a substituição direta fornece o número \;9.

Passo 3

Agora a explicação sobre a Regra de L’Hôpital (aulas rápidas e práticas). A Regra de L’Hôpital diz que, se tivermos um limite do tipo
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}
e ao substituir x=a obtemos uma forma indeterminada \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}, então, sob hipóteses técnicas (derivabilidade em torno de a e g'(x)\neq 0 perto de a), podemos calcular
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando esse segundo limite existir ou for \pm\infty. Importante: a regra só vale para quocientes que apresentem uma forma indeterminada apropriada.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso: a expressão dada não é um quociente indeterminado — é um polinômio simples. Poderíamos escrever artificialmente
4x^{2}-5x+3=\frac{4x^{2}-5x+3}{1},
mas ao avaliar em x=2 obtemos \dfrac{9}{1}=9, que não é uma forma \dfrac{0}{0} nem \dfrac{\infty}{\infty}. Logo, a Regra de L’Hôpital não se aplica aqui (não é válida usar L’Hôpital quando não há forma indeterminada). Calma — isso é bom: significa que o limite é fácil de calcular.
Além disso, uma observação teórica útil e muito usada na prova: polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Para uma função contínua f, vale
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Então podemos simplesmente avaliar o polinômio em x=2 — foi o que fiz no Passo 2.

Passo 5

Repetindo com clareza a conta final (do jeito que você pode fazer na prova, sem calculadora complicada):
4(2)^{2}-5(2)+3 = 4\cdot 4 -10 +3 = 16-10+3 = 9.
Portanto o limite existe e vale 9. Força aí — você já resolveu a parte mais chata: identificar que L’Hôpital não se aplica e usar continuidade para concluir.

Resposta

9

Exercícios relacionados