Calcular f^{\prime}(x).
f(x)=(1+\sqrt[4]{x}) e^{x}-\operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(1 + \sqrt[4]{x}\bigr)\,e^{x} \;-\;\tan x.
Aqui vamos usar a regra do produto para \bigl(1 + x^{1/4}\bigr)e^x, a regra da cadeia para x^{1/4} e a derivada de \tan x, que é \operatorname{sec}^2 x.

Passo 2

Definimos
u(x) = 1 + x^{1/4},
então
u'(x) = \frac{1}{4}\,x^{-\tfrac{3}{4}}
pela regra da cadeia. Aplicando a regra do produto a u(x)\,e^x,
\frac{d}{dx}\bigl(u\,e^x\bigr) = u'(x)\,e^x + u(x)\,e^x = \Bigl(\tfrac{1}{4}\,x^{-\tfrac{3}{4}} + 1 + x^{1/4}\Bigr)\,e^x.

Passo 3

A derivada de -\tan x é
-\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr) = -\operatorname{sec}^2 x.

Passo 4

Somando as partes, obtemos
f'(x) = \Bigl(\tfrac{1}{4}\,x^{-\tfrac{3}{4}} + 1 + x^{1/4}\Bigr)\,e^x \;-\;\operatorname{sec}^2 x.

Resposta

f'(x) = e^x\Bigl(1 + x^{\tfrac{1}{4}} + \tfrac{1}{4}\,x^{-\tfrac{3}{4}}\Bigr) \;-\;\operatorname{sec}^2 x.

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