Calcular f^{\prime}(x).
f(x)=\left(6^{x}+x^{6}\right)(\operatorname{tg} x+\cot x)(1+\ln x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(6^{x} + x^{6}\bigr)\,\bigl(\tan x + \cot x\bigr)\,(1 + \ln x).
O conteúdo matemático que vamos usar inclui:
  1. Regra do produto para três fatores.
  2. Derivada de 6^{x} e de x^{6}.
  3. Derivada de \tan x e de \cot x.
  4. Derivada de \ln x.

Passo 2

Definimos
u(x)=6^{x}+x^{6},\quad v(x)=\tan x + \cot x,\quad w(x)=1+\ln x.
Suas derivadas são
u'(x)=\frac{d}{dx}6^{x}+\frac{d}{dx}x^{6} =6^{x}\ln 6 + 6x^{5},
v'(x)=\frac{d}{dx}\tan x + \frac{d}{dx}\cot x =\operatorname{sec}^{2}x - \csc^{2}x,
w'(x)=\frac{d}{dx}(1+\ln x) =\frac1x.

Passo 3

Aplicando a regra do produto para três funções,
f'(x)=u'(x)\,v(x)\,w(x) +u(x)\,v'(x)\,w(x) +u(x)\,v(x)\,w'(x).
Substituindo u,u',v,v',w,w', obtemos
f'(x) =(6^{x}\ln 6 + 6x^{5})(\tan x + \cot x)(1 + \ln x) +(6^{x}+x^{6})(\operatorname{sec}^{2}x - \csc^{2}x)(1 + \ln x) +(6^{x}+x^{6})(\tan x + \cot x)\,\frac1x.

Resposta

f'(x) =(6^{x}\ln 6 + 6x^{5})(\tan x + \cot x)(1 + \ln x) +(6^{x}+x^{6})(\operatorname{sec}^{2}x - \csc^{2}x)(1 + \ln x) +(6^{x}+x^{6})(\tan x + \cot x)\,\frac1x.

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