Calcular f^{\prime}(x).
f(x)=\left(3 x^{-3}+5 \sqrt[7]{x}\right) e^{x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(3x^{-3} + 5x^{1/7}\bigr)\,e^{x}\cos x.
O conteúdo necessário inclui a regra do produto, a regra da soma e a regra da potência.

Passo 2

Separemos
u(x) = 3x^{-3} + 5x^{1/7}, \quad v(x) = e^{x}\cos x.
Calculamos u'(x) pelas regras de potência:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{-3}\bigr) = -9x^{-4}, \quad \frac{d}{dx}\bigl(5x^{1/7}\bigr) = \tfrac{5}{7}\,x^{-6/7}.
Logo,
u'(x) = -9x^{-4} + \tfrac{5}{7}\,x^{-6/7}.

Passo 3

Agora v'(x). Como v(x)=e^x\cos x, aplicamos a regra do produto:
v'(x) = \frac{d}{dx}(e^x)\,\cos x + e^x\,\frac{d}{dx}(\cos x) = e^x\cos x - e^x\sin x = e^x\bigl(\cos x - \sin x\bigr).

Passo 4

Pela regra do produto em f(x)=u(x)\,v(x),
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u, u', v e v',
f'(x) = \Bigl(-9x^{-4} + \tfrac{5}{7}x^{-6/7}\Bigr)\,e^x\cos x + \bigl(3x^{-3} + 5x^{1/7}\bigr)\,e^x\bigl(\cos x - \sin x\bigr).

Passo 5

Podemos fatorar e^x:
f'(x) = e^x\Bigl[\bigl(-9x^{-4} + \tfrac{5}{7}x^{-6/7}\bigr)\cos x + \bigl(3x^{-3} + 5x^{1/7}\bigr)\bigl(\cos x - \sin x\bigr)\Bigr].

Resposta

f'(x) = e^x\Bigl[\bigl(-9x^{-4} + \tfrac{5}{7}x^{-6/7}\bigr)\cos x + \bigl(3x^{-3} + 5x^{1/7}\bigr)\bigl(\cos x - \sin x\bigr)\Bigr].

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