Calcular f^prime(x) nos seguintes casos:
f(x)=x^3 sec (x) tan (x)(x^2+1) cos (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^3sec(x)tan(x)(x^2+1)cos(x)
O conteúdo envolve simplificação de expressões trigonométricas, além de aplicação das regras do produto, quociente e derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro simplificamos f(x). Note que
sec(x)cos(x) = 1/cos(x)cos(x) = 1cos^2(x) = sec^2(x)
Logo
f(x) = x^3sec(x)tan(x)(x^2+1)cos(x) = x^3tan(x)sec^2(x)x^2+1
Definimos
u(x)=x^3tan(x)sec^2(x), v(x)=x^2+1,
de modo que f(x)=u(x)/v(x).

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2
Precisamos então de u'(x) e v'(x).

Passo 4

Calcular u'(x). Escrevendo u(x)=x^3cdot w(x) com w(x)=tan(x)sec^2(x), temos pela regra do produto:
u'(x) = 3x^2,w(x) + x^3,w'(x)
Agora w(x)=tan(x)sec^2(x) e
w'(x) = ddx[tan(x)]cdotsec^2(x) + tan(x)cdotddx[sec^2(x)]
Como ddx[tan(x)]=sec^2(x) e ddx[sec^2(x)] =2sec(x)cdotsec(x)tan(x)=2sec^2(x)tan(x), segue
w'(x) = sec^2(x)cdotsec^2(x) + tan(x)cdot2sec^2(x)tan(x) = sec^4(x) + 2sec^2(x)tan^2(x)
Portanto
u'(x) = 3x^2,tan(x)sec^2(x) + x^3l[sec^4(x) + 2sec^2(x)tan^2(x)r]

Passo 5

Calcular v'(x). Como v(x)=x^2+1, temos
v'(x)=2x

Passo 6

Substituindo em f'(x):
f'(x) = l[3x^2tan(x)sec^2(x) + x^3(sec^4(x)+2sec^2(x)tan^2(x))r](x^2+1) - x^3tan(x)sec^2(x)cdot 2x(x^2+1)^2
No numerador podemos agrupar termos, mas a forma acima já mostra a aplicação completa das regras.

Passo 7

Para simplificar, note que sec^4(x)+2sec^2(x)tan^2(x)=sec^2(x)[sec^2(x)+2tan^2(x)]
e sec^2(x)+2tan^2(x)=1+3tan^2(x). Assim o numerador fatora em sec^2(x), obtendo-se
f'(x) = sec^2(x)l[ tan(x)(x^4+3x^2) + x^3(x^2+1)(1+3tan^2(x)) r](x^2+1)^2

Resposta

f'(x) = sec^2(x)l[ tan(x)(x^4+3x^2) + x^3(x^2+1)(1+3tan^2(x)) r](x^2+1)^2

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