2 Deixa-se um objeto cair, verticalmente, de uma altura de 500 m acima do solo. A altura que ele está, em função do tempo t, marcado do início da queda e dado em segundos, é dado pela função f:[0, infty] R onde f(t)=t^3-13 t^2-100 t+1300, dada em metros, para t >= 0. Pergunta-se:
(a) Quais as velocidades do objeto nos instantes t=1, t=2 e t=3 segundos?
(b) Com que velocidade o objeto atinge o solo?

Passo 1

O enunciado nos dá a altura do objeto em função do tempo t>=0 pela função
f(t)=t^3-13t^2-100t+1300,
e pede (a) as velocidades nos instantes t=1, t=2 e t=3 segundos e (b) a velocidade com que o objeto atinge o solo. O conteúdo aqui é derivada de uma função para obter a velocidade instantânea e solução de equação para achar o instante de impacto.

Passo 2

A velocidade instantânea v(t) é dada pela derivada de f(t). Calculamos
v(t)=f'(t)=ddtl(t^3-13t^2-100t+1300r) =3t^2-26t-100

Passo 3

Agora avaliamos v(t) nos instantes pedidos:
v(1)=3cdot1^2-26cdot1-100=3-26-100=-123 m/s,
v(2)=3cdot2^2-26cdot2-100=12-52-100=-140 m/s,
v(3)=3cdot3^2-26cdot3-100=27-78-100=-151 m/s

Passo 4

Para saber quando o objeto atinge o solo, resolvemos f(t)=0:
t^3-13t^2-100t+1300=0
Verificamos por tentativa que t=10 é raiz, pois
1000-1300-1000+1300=0
Fazendo a divisão sintética por (t-10) obtemos o fator quadrático t^2-3t-130, cujas raízes são
t=3pmraiz9+5202=3pm232implies t=13 ou t=-10
Os valores positivos são t=10 e t=13, mas o impacto ocorre no primeiro encontro com o solo, i.e., em t=10 s.

Passo 5

Calculamos a velocidade no instante de impacto t=10:
v(10)=3cdot10^2-26cdot10-100=300-260-100=-60 m/s
O sinal negativo indica direção para baixo.

Resposta

(a) v(1)=-123 m/s,;v(2)=-140 m/s,;v(3)=-151 m/s
(b) No impacto ( t=10 s), v(10)=-60 m/s

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