1 Um objeto é lançado verticalmente do chão para cima com velocidade inicial de 112 m / s e a altura atingida no instante t segundos é dada pela função f:[0, infty] R onde f(t)=112 t-16 t^2 metros, para t >= 0. Pergunta-se:
(a) Quais as velocidades do objeto nos instantes t=2, t=3 e t=4 segundos?
(b) Em que instante o objeto alcança a altura máxima?
(c) Em que instante o objeto atinge o chão?
(d) Com que velocidade o objeto atinge o chão?

Passo 1

O enunciado diz que a altura de um objeto lançado verticalmente é dada por f(t)=112t-16t^2. Aqui o conteúdo é derivada de função para achar velocidade, resolução de equação quadrática para encontrar zeros (queda ao chão) e condição de ponto crítico (altura máxima).

Passo 2

Para achar a velocidade instantânea v(t) usamos que é a derivada de f(t). Aplicando a regra de potência temos
v(t)=f'(t)=ddt(112t)-ddt(16t^2)=112-32t

Passo 3

Agora é só avaliar v(t)=112-32t nos tempos pedidos:
• Para t=2:
v(2)=112-32cdot2=112-64=48 m/s
• Para t=3:
v(3)=112-32cdot3=112-96=16 m/s
• Para t=4:
v(4)=112-32cdot4=112-128=-16 m/s

Passo 4

A altura máxima ocorre quando a velocidade fica zero, ou seja v(t)=0. Resolvendo
112-32t=0Longrightarrow t=11232=3,5 s

Passo 5

O objeto atinge o chão quando f(t)=0. Resolvendo
112t-16t^2=0Longrightarrow t(112-16t)=0Rightarrow t=0 ou t=7 s
Ignoramos t=0, então o instante de queda é t=7 s.

Passo 6

Para saber com que velocidade ele bate no chão, avaliamos v(7):
v(7)=112-32cdot7=112-224=-112 m/s
O sinal negativo indica que ele está se movendo para baixo.

Resposta

(a) As velocidades são 48 m/s em 2 s, 16 m/s em 3 s e –16 m/s em 4 s.
(b) O tempo de altura máxima é 3,5 s.
(c) O objeto atinge o chão em 7 s.
(d) A velocidade ao atingir o chão é –112 m/s.

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