Calcular f^{\prime}(x) nos seguintes casos:
f(x)=\operatorname{sen}(2 x) \operatorname{tg}\left(x \operatorname{sen}(x)+\frac{\cos (x)}{x^{5}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sin(2x)\,\tan\!\Bigl(h(x)\Bigr),
onde
h(x)=x\sin x+\frac{\cos x}{x^{5}+1}.
Para resolver, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando a primeira parte \sin(2x) pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[\sin(2x)\bigr] =2\cos(2x).

Passo 3

Derivando a segunda parte \tan\bigl(h(x)\bigr) pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[\tan(h(x))\bigr] =\operatorname{sec}^{2}\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).

Passo 4

Calculamos h'(x) em duas parcelas. Primeiro,
\frac{d}{dx}\bigl[x\sin x\bigr] =\sin x + x\cos x.

Passo 5

Agora a derivada de \displaystyle \frac{\cos x}{x^{5}+1} pela regra do quociente:
\frac{d}{dx}\!\Bigl[\frac{\cos x}{x^{5}+1}\Bigr] =\frac{(-\sin x)(x^{5}+1)-\cos x\cdot5x^{4}}{(x^{5}+1)^{2}}.

Passo 6

Pondo tudo junto pela regra do produto,
f'(x) =\underbrace{2\cos(2x)}_{(\sin(2x))'}\;\tan\!(h(x)) \;+\;\sin(2x)\;\underbrace{\operatorname{sec}^{2}(h(x))\,h'(x)}_{(\tan(h(x)))'}.
Substituindo h'(x):
h'(x) =\sin x + x\cos x +\frac{-\sin x\,(x^{5}+1)-5x^{4}\cos x}{(x^{5}+1)^{2}}.

Resposta

f'(x) =2\cos(2x)\,\tan\!\Bigl(x\sin x+\tfrac{\cos x}{x^{5}+1}\Bigr) +\sin(2x)\,\operatorname{sec}^{2}\!\Bigl(x\sin x+\tfrac{\cos x}{x^{5}+1}\Bigr) \Bigl[\sin x + x\cos x +\frac{-\sin x\,(x^{5}+1)-5x^{4}\cos x}{(x^{5}+1)^{2}}\Bigr].

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