Calcular o fluxo de
atraves de
na direção
para:
e $\vec{N}$ a normal apontando para o eixo
;
Passo 1
O enunciado quer a integral de superfície (fluxo) de \vec{F}(x,y,z)=(x,y,z) sobre a superfície cilíndrica S: x²+y²=4 limitada por z=0 e y+z=3, usando a normal que aponta em direção ao eixo z (isto é, apontando para dentro do cilindro). Vamos usar parametrização e cálculo direto da integral de superfície.
Passo 2
Parametrizamos a superfície S por dois parâmetros: o ângulo t em [0,2\pi] e a altura z entre 0 e z=3−y=3−2\sin t. Definimos
$
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
$
O vetor normal orientado para dentro (em direção ao eixo z) é dado por \mathbf{n},dS=\mathbf{r}_z\times\mathbf{r}_t\, que resulta em
$
O vetor normal orientado para dentro (em direção ao eixo z) é dado por \mathbf{n},dS=\mathbf{r}_z\times\mathbf{r}_t\, que resulta em
$
Passo 4
Substituímos \vec{F} na parametrização: \vec{F}(\mathbf{r}(t,z))=(2\cos t,\,2\sin t,\,z). Fazemos o produto escalar com \mathbf{n},dS:
$
Passo 5
Montamos a integral do fluxo:
$
Passo 6
Integramos primeiro em z: \int_0^{3-2\sin t}(-4)dz=-4(3-2\sin t). Depois em t de 0 a 2\pi. Como \int_0^{2\pi}\sin t\,dt=0, obtemos:
$
Resposta
-24\pi