Calcular o fluxo de F atraves de S na direção N para:
N e $\vec{N}$ a normal apontando para o eixo z;

Passo 1

O enunciado quer a integral de superfície (fluxo) de \vec{F}(x,y,z)=(x,y,z) sobre a superfície cilíndrica S: x²+y²=4 limitada por z=0 e y+z=3, usando a normal que aponta em direção ao eixo z (isto é, apontando para dentro do cilindro). Vamos usar parametrização e cálculo direto da integral de superfície.

Passo 2

Parametrizamos a superfície S por dois parâmetros: o ângulo t em [0,2\pi] e a altura z entre 0 e z=3−y=3−2\sin t. Definimos
$ r(t,z)=(2cos t,,2sin t,,z), tin[0,2pi],;zin[0,3-2sin t]

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
$ rt=(-2sin t,,2cos t,,0),rz=(0,,0,,1)
O vetor normal orientado para dentro (em direção ao eixo z) é dado por \mathbf{n},dS=\mathbf{r}_z\times\mathbf{r}_t\, que resulta em
$ n,dS=(-2cos t,,-2sin t,,0),dt,dz

Passo 4

Substituímos \vec{F} na parametrização: \vec{F}(\mathbf{r}(t,z))=(2\cos t,\,2\sin t,\,z). Fazemos o produto escalar com \mathbf{n},dS:
$ Fcdot(n,dS)=(2cos t)(-2cos t)+(2sin t)(-2sin t)+zcdot0=-4(cos^2t+sin^2t)=-4

Passo 5

Montamos a integral do fluxo:
$ Phi=integralegral duplaS FcdotN,dS=integralt=0^2piintegralz=0^3-2sin t(-4),dz,dt

Passo 6

Integramos primeiro em z: \int_0^{3-2\sin t}(-4)dz=-4(3-2\sin t). Depois em t de 0 a 2\pi. Como \int_0^{2\pi}\sin t\,dt=0, obtemos:
$ Phi=-4integral0^2pi(3-2sin t)dt=-4l(3cdot2pi-2cdot0r)=-24pi

Resposta

-24\pi

Exercícios relacionados