Calcular o fluxo de F atraves de S na direção N para:
N e $\vec{N}$ a normal tal que $\vec{N} \cdot \vec{k}>0$ .

Passo 1

Estamos calculando o fluxo do campo vetorial vec F(x,y,z)=(0,z,z) através da porção do plano 3x+2y+z=6 no primeiro octante, com orientação escolhida de forma que a componente vec Ncdotvec k>0. O assunto aqui é integral de superfície para um gráfico z=f(x,y), e vamos precisar projetar a superfície no plano xy, achar o vetor área dvec S e configurar a integral dupla.

Passo 2

Vamos reescrever a superfície como gráfico de uma função:
z = f(x,y) = 6 - 3x - 2y,
e determinar a região de projeção D no plano xy. Como estamos no primeiro octante e z>=0, temos
3x+2y+z=6>=0implies3x+2y<=6, x>=0,;y>=0

Passo 3

Portanto
D=(x,y):x>=0,;y>=0,;2y<=6-3x=0<= x<=2,;0<= y<=tfrac6-3x2

Passo 4

Para um gráfico z=f(x,y) com orientação para cima ( vec Ncdotvec k>0), o vetor área é
dvec S = (-fx,-fy,1),dA

Passo 5

Como fx=-3 e fy=-2, temos
dvec S=(3,2,1),dA

Passo 6

Agora substituímos vec F(x,y,z)=(0,z,z) e z=f(x,y)=6-3x-2y. O integrando é
vec Fcdot dvec S = (0,z,z)cdot(3,2,1) = 0cdot3 + zcdot2 + zcdot1 = 3z = 3(6-3x-2y)

Passo 7

O fluxo então é
integral duplaS vec Fcdot dvec S = integral duplaD 3(6-3x-2y),dA = integralx=0^2 integraly=0^tfrac6-3x2 (18 -9x -6y),dy,dx

Passo 8

Basta calcular a integral iterada. Primeiro em y:
integral0^tfrac6-3x2(18 -9x -6y),dy = l[18y -9xy -3y^2r]0^tfrac6-3x2 = 27 -27x +6.75x^2

Passo 9

Depois em x:
integral0^2(27 -27x +6.75x^2),dx = l[27x -tfrac272x^2 +2.25x^3r]0^2 = 54 -54 +18 = 18

Resposta

18

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