Calcular o fluxo de
atraves de
na direção
para:
e $\vec{N}$ a normal tal que $\vec{N} \cdot \vec{k}>0$ .
Passo 1
Estamos calculando o fluxo do campo vetorial
através da porção do plano
no primeiro octante, com orientação escolhida de forma que a componente
. O assunto aqui é integral de superfície para um gráfico
, e vamos precisar projetar a superfície no plano
, achar o vetor área
e configurar a integral dupla.
Passo 2
Vamos reescrever a superfície como gráfico de uma função:
e determinar a região de projeção
Passo 3
Portanto
Passo 4
Para um gráfico
com orientação para cima (
), o vetor área é
Passo 5
Como
e
, temos
Passo 6
Agora substituímos
e
. O integrando é
Passo 7
O fluxo então é
Passo 8
Basta calcular a integral iterada. Primeiro em
:
Passo 9
Depois em
:
Resposta
18