Qual o trabalho realizado pela força F= x^2 i+y^2 j nos seguintes caminhos:
Do ponto (1,-1) ao ponto (0,-1), ligados por uma reta.

Passo 1

A questão pede o trabalho da força vec F(x,y)=x^2,hat i+y^2,hat j ao longo da reta que liga (1,-1) a (0,-1). O conteúdo é trabalho de uma força variável, que usa a integral de linha W=integralCvec Fcdot dvec r.

Passo 2

Vamos parametrizar o caminho. Como a reta vai de (1,-1) a (0,-1) em linha reta, escolhemos
vec r(t)=l(1-t,-1r), tin[0,1]
Aqui x=1-t, y=-1. Então
dvec r=vec r,'(t),dt =(-1,0),dt

Passo 3

Expressamos a força em termos de t:
vec F(vec r(t))=l((1-t)^2,(-1)^2r)=l((1-t)^2,1r)
O produto escalar é
vec F(vec r(t))cdotvec r,'(t) = (1-t)^2cdot(-1)+1cdot0 = -(1-t)^2

Passo 4

O trabalho é a integral de t=0 até 1:
W=integral0^1l[-(1-t)^2r]dt = -integral0^1(1-t)^2dt
Calculando
integral0^1(1-t)^2dt = l[t - t^2 + tfract^33r]0^1 = 1 -1 + tfrac13 = tfrac13,
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W=-tfrac13

Resposta

-tfrac13

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