Calcular o fluxo de F atraves de S na direção N para:
N e $\vec{N}$ a normal exterior.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vec F(x,y,z)=(y,-x,z^2) através da superfície lateral do cone definido por z^2=x^2+y^2, com 0<= z<=1, usando a normal exterior. O conteúdo principal é fluxo de campos vetoriais e vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar.

Passo 2

Para aplicar o Teorema da Divergência fechamos a superfície lateral S incluindo o disco superior S2 em z=1. Assim, o fluxo por S mais o fluxo por S2 é igual ao volume do cone integrado do divergente de vec F.

Passo 3

Calculemos o divergente do campo:
nablacdotvec F=partialpartial x(y)+partialpartial y(-x)+partialpartial z(z^2)=0+0+2z=2z

Passo 4

Agora integramos 2z sobre o volume do cone. Em coordenadas cilíndricas temos r<= z para 0<= z<=1:
integralV2z,dV=integraltheta=0^2piintegralz=0^1integralr=0^z2z;r,dr,dz,dtheta =2piintegral0^1 2zcdotz^22,dz=2piintegral0^1z^3,dz=2picdot14=pi2

Passo 5

Para o disco superior S2:,z=1,,r<=1 o normal exterior (do volume) é +hat k. Neste disco
vec F|z=1=(y,-x,1),, vec Fcdothat k=1
e o fluxo é
integralS21,dS=integral0^2piintegral0^1r,dr,dtheta=pi

Passo 6

Finalmente, pelo Teorema da Divergência, fluxo( S)+fluxo( S2)= pi/2. Logo o fluxo sobre a superfície lateral é

Resposta

-\frac{\pi}{2}

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