Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões R dadas:
f(x, y)=x^2 y+y^2 x, R=[0,2] *[0,3].
(V=30 u.v.)

Passo 1

Nesse exercício, a gente vai calcular a integral dupla de
f(x,y)=x^2y + y^2x
sobre a região retangular R=[0,2]×[0,3]. O assunto é integração dupla em região retangular e usamos integração iterada (fazer uma integral simples por vez).

Passo 2

Primeiro, escrevemos a integral iterada em ordem dy dx:
integral duplaR f(x,y),dA =integralx=0^2 l(integraly=0^3 l(x^2y + y^2xr),dyr) dx
Aqui usamos a linearidade da integral para somar as integrais de x^2y e y^2x.

Passo 3

Agora vamos calcular a integral interna em y. Separamos em duas partes:
integral0^3 x^2y,dy = x^2 integral0^3 y,dy = x^2 cdot 3^22 = 92x^2
integral0^3 y^2x,dy = x integral0^3 y^2,dy = x cdot 3^33 = 9x
Somando, a integral interna vira
92x^2 + 9x

Passo 4

Por fim, integramos essa expressão em x de 0 a 2:
integral0^2 l(92x^2 + 9xr) dx = 92 cdot 2^33 + 9 cdot 2^22 = 12 + 18 = 30

Resposta

30

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