Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de x0 e usando um software desenhe os gráficos da função e do polinômio de Taylor numa vizinhança do ponto especificado.
11-x^2 em torno de 0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x)=1/(1−x²) ao redor de x₀=0 e, em seguida, plotar f e esse polinômio numa vizinhança de 0 usando um software. Vamos precisar usar a definição de série de Taylor até o segundo grau e calcular f(0), f′(0) e f″(0).

Passo 2

Lembrando a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de x₀=0:
T2(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2x^2

Passo 3

Primeiro calculamos as derivadas de f(x)= (1−x^2)^−1:
f'(x)=ddx(1−x^2)^−1=2x(1−x^2)^−2,
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f'(0)=0
Agora
$$
f’’(x)=\frac{d}{dx}\bigl[2x(1−x2){−2}
f’’(0)=2.
$$

Passo 4

Substituindo em T₂(x) obtemos
T2(x)=1+0cdot x+22x^2=1+x^2
Para visualizar no Python (por exemplo usando matplotlib) basta gerar um vetor x em [−0.9,0.9], calcular f=1/(1−x2) e T2=1+x2, e plotar ambas as curvas.

Passo 5

Como resultado, o polinômio de Taylor de ordem 2 fica pronto e os gráficos mostram que T₂ aproxima bem f perto de x=0.

Resposta

T_2(x)=1+x^2

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