Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de
e usando um software desenhe os gráficos da função e do polinômio de Taylor numa vizinhança do ponto especificado.
em torno de 0
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x)=1/(1−x²) ao redor de x₀=0 e, em seguida, plotar f e esse polinômio numa vizinhança de 0 usando um software. Vamos precisar usar a definição de série de Taylor até o segundo grau e calcular f(0), f′(0) e f″(0).
Passo 2
Lembrando a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de x₀=0:
Passo 3
Primeiro calculamos as derivadas de f(x)=
:
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Agora
$$
f’’(x)=\frac{d}{dx}\bigl[2x(1−x2){−2}
f’’(0)=2.
$$
Passo 4
Substituindo em T₂(x) obtemos
Para visualizar no Python (por exemplo usando matplotlib) basta gerar um vetor x em [−0.9,0.9], calcular f=1/(1−x2) e T2=1+x2, e plotar ambas as curvas.
Passo 5
Como resultado, o polinômio de Taylor de ordem 2 fica pronto e os gráficos mostram que T₂ aproxima bem f perto de x=0.
Resposta
T_2(x)=1+x^2