Calcular o fluxo integral duplaS F cdot n d S do campo vetorial F=x z^2 imath+y x^2 jmath+z y^2 k através de S, que é a esfera de raio igual a 2 centrada na origem
a) utilizando a definição;
b) utilizando o teorema de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de fluxo! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial F = x z^2 imath + y x^2 jmath + z y^2 k através de uma esfera de raio 2 centrada na origem. A gente vai fazer isso de duas maneiras:
a) usando a definição de fluxo;
b) usando o teorema de Gauss.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo de um campo vetorial e como aplicar a definição e o teorema de Gauss para calcular esse fluxo.

Passo 2

Parte a) Utilizando a definição
Primeiro, vamos usar a definição de fluxo. O fluxo através de uma superfície S é dado por:
integral duplaS F cdot n , dS
Aqui, n é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Para calcular isso, precisamos parametrizar a esfera de raio 2. Uma forma comum de parametrizar uma esfera é usando coordenadas esféricas. Vamos definir:
  • x = 2 sintheta cosphi
  • y = 2 sintheta sinphi
  • z = 2 costheta
Onde 0 <= theta <= pi e 0 <= phi < 2pi.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o vetor normal n. Para uma esfera centrada na origem, o vetor normal é simplesmente o vetor posição dividido pelo seu módulo. Como o raio é 2:
n = 12(x imath + y jmath + z k)

Passo 5

Vamos agora calcular o produto escalar F cdot n:
F cdot n = (x z^2)(x2) + (y x^2)(y2) + (z y^2)(z2)
Simplificando:
F cdot n = x^2 z^2 + y^2 x^2 + z^2 y^22

Passo 6

Agora, precisamos integrar isso sobre a superfície da esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de área dS é:
dS = (2)^2 sintheta , dtheta , dphi = 4 sintheta , dtheta , dphi

Passo 7

Substituindo tudo na integral:
integral duplaS F cdot n , dS = integral0^2pi integral0^pi x^2 z^2 + y^2 x^2 + z^2 y^22 cdot 4 sintheta , dtheta , dphi
Isso pode ser simplificado e calculado, mas já dá para ver que a expressão fica bem trabalhosa.

Passo 8

Por isso, vamos para a segunda parte usando o teorema de Gauss, que simplifica bastante esse cálculo.
Parte b) Utilizando o teorema de Gauss
O teorema de Gauss relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral de divergência desse campo no volume limitado pela superfície:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV

Passo 9

Primeiro, vamos calcular a divergência de F:
nabla cdot F = partialpartial x(x z^2) + partialpartial y(y x^2) + partialpartial z(z y^2)
Calculando cada termo:
  • partialpartial x(x z^2) = z^2
  • partialpartial y(y x^2) = x^2
  • partialpartial z(z y^2) = y^2
Então:
nabla cdot F = z^2 + x^2 + y^2

Passo 10

Agora, vamos integrar essa divergência sobre o volume da esfera de raio 2. Em coordenadas esféricas, x^2 + y^2 + z^2 = r^2, então:
nabla cdot F = r^2
E o elemento de volume é:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi

Passo 11

Substituindo na integral tripla:
integral triplaV r^2 cdot r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi = integral0^2pi integral0^pi integral0^2 r^4 sintheta , dr , dtheta , dphi

Passo 12

Vamos calcular as integrais separadamente:
  • Integral em r: integral0^2 r^4 , dr = [ r^55 ]0^2 = 325
  • Integral em theta: integral0^pi sintheta , dtheta = 2
  • Integral em phi: integral0^2pi dphi = 2pi
Multiplicando tudo:
325 times 2 times 2pi = 1285 pi

Resposta

O fluxo do campo vetorial F através da esfera de raio 2 centrada na origem é 1285 pi unidades de fluxo.

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