Calcular o fluxo
do campo vetorial
através de
, que é a esfera de raio igual a 2 centrada na origem
a) utilizando a definição;
b) utilizando o teorema de Gauss.
a) utilizando a definição;
b) utilizando o teorema de Gauss.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de fluxo! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através de uma esfera de raio 2 centrada na origem. A gente vai fazer isso de duas maneiras:
a) usando a definição de fluxo;
b) usando o teorema de Gauss.
a) usando a definição de fluxo;
b) usando o teorema de Gauss.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo de um campo vetorial e como aplicar a definição e o teorema de Gauss para calcular esse fluxo.
Passo 2
Parte a) Utilizando a definição
Primeiro, vamos usar a definição de fluxo. O fluxo através de uma superfície
é dado por:
Aqui,
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Para calcular isso, precisamos parametrizar a esfera de raio 2. Uma forma comum de parametrizar uma esfera é usando coordenadas esféricas. Vamos definir:
Onde
e
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o vetor normal
. Para uma esfera centrada na origem, o vetor normal é simplesmente o vetor posição dividido pelo seu módulo. Como o raio é 2:
Passo 5
Vamos agora calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos integrar isso sobre a superfície da esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de área
é:
Passo 7
Substituindo tudo na integral:
Isso pode ser simplificado e calculado, mas já dá para ver que a expressão fica bem trabalhosa.
Passo 8
Por isso, vamos para a segunda parte usando o teorema de Gauss, que simplifica bastante esse cálculo.
Parte b) Utilizando o teorema de Gauss
O teorema de Gauss relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral de divergência desse campo no volume limitado pela superfície:
Passo 9
Primeiro, vamos calcular a divergência de
:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 10
Agora, vamos integrar essa divergência sobre o volume da esfera de raio 2. Em coordenadas esféricas,
, então:
E o elemento de volume é:
Passo 11
Substituindo na integral tripla:
Passo 12
Vamos calcular as integrais separadamente:
- Integral em
: - Integral em
: - Integral em
:
Multiplicando tudo:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da esfera de raio 2 centrada na origem é
unidades de fluxo.