Use o teorema de Gauss para calcular o fluxo ∬S F cdot n d S
, onde \overrightarrow{\mathbf{F}}=3 x \hat{\imath}-y \hat{\jmath}+4 z \hat{k}) e S é a superfície do cubo com vértices ( pm 1, pm 1, pm 1).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo vetorial F = 3x,hatimath - y,hatjmath + 4z,hat k através da superfície fechada S do cubo definido por (x,y,z) com -1 <= x,y,z <= 1. Vamos usar o Teorema de Gauss (ou Divergência) que transforma o fluxo de uma superfície fechada num volume integral da divergência de F.

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
nabla cdot F = partialpartial x(3x) + partialpartial y(-y) + partialpartial z(4z) = 3 - 1 + 4 = 6

Passo 3

Pelo Teorema de Gauss,
integral duplaSFcdotn,dS = integral triplaV(nablacdotF),dV
Como nablacdotF=6 é constante e o volume do cubo de aresta 2 é 8, segue
integral triplaV6,dV = 6 times 8 = 48

Resposta

48

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