Use o teorema de Gauss para calcular o fluxo
do campo vetorial \overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y, z)=) \left(x^{2}, y^{2}, z^{2}\right)) através da superfície
, que é o bordo do cubo definido por
.
do campo vetorial \overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y, z)=) \left(x^{2}, y^{2}, z^{2}\right)) através da superfície
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar o teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é o contorno de um cubo definido por
. Para resolver isso, vamos precisar entender o teorema de Gauss e calcular a divergência do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o teorema de Gauss. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo por todo o volume encerrado pela superfície. Matemáticamente, é expressa como:
Ou seja, o fluxo através da superfície
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Com a divergência calculada, vamos agora integrar essa expressão sobre todo o volume
. A integral fica assim:
Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 5
Observemos que as funções
,
e
são ímpares em
,
e
respectivamente. Ou seja:
Isso porque a área sob a curva de uma função ímpar em intervalos simétricos em torno da origem cancela-se. Portanto, a integral total fica:
Resposta
O fluxo
é igual a 0.