Use o teorema de Gauss para calcular o fluxo ∬S F cdot n d S
do campo vetorial \overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y, z)=) \left(x^{2}, y^{2}, z^{2}\right)) através da superfície S=partial V, que é o bordo do cubo definido por V=[-1,1] times [-1,1] times[-1,1].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar o teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x^2, y^2, z^2) através da superfície S, que é o contorno de um cubo definido por V = [-1,1] times [-1,1] times [-1,1]. Para resolver isso, vamos precisar entender o teorema de Gauss e calcular a divergência do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o teorema de Gauss. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo por todo o volume encerrado pela superfície. Matemáticamente, é expressa como:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Ou seja, o fluxo através da superfície S é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume V.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial F(x, y, z) = (x^2, y^2, z^2). A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial (x^2)partial x + partial (y^2)partial y + partial (z^2)partial z
Calculando cada derivada:
partial (x^2)partial x = 2x, partial (y^2)partial y = 2y, partial (z^2)partial z = 2z
Então,
nabla cdot F = 2x + 2y + 2z

Passo 4

Com a divergência calculada, vamos agora integrar essa expressão sobre todo o volume V = [-1,1] times [-1,1] times [-1,1]. A integral fica assim:
integral triplaV (2x + 2y + 2z) , dV = integral-1^1 integral-1^1 integral-1^1 (2x + 2y + 2z) , dx , dy , dz
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 5

Observemos que as funções 2x, 2y e 2z são ímpares em x, y e z respectivamente. Ou seja:
integral-1^1 2x , dx = 0, integral-1^1 2y , dy = 0, integral-1^1 2z , dz = 0
Isso porque a área sob a curva de uma função ímpar em intervalos simétricos em torno da origem cancela-se. Portanto, a integral total fica:
integral triplaV (2x + 2y + 2z) , dV = 0

Resposta

O fluxo integral duplaS F cdot n , dS é igual a 0.

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