Calcule os dois lados do teorema de Gauss
integral duplaS=partial V F cdot n d S=integral triplaV nabla cdot F d V
onde o campo vetorial F: R^3 R^3 é definido por F(x, y, z)=(x, y,-z) através de S, que é a esfera de raio igual a 2 centrada na origem.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar o Teorema de Gauss (ou Divergência)
integral duplaS=partial VFcdotn,dS = integral triplaVnablacdotF,dV
para o campo F(x,y,z)=(x,y,-z) e V a bola de raio 2 centrada na origem. Vamos calcular separadamente o lado direito (integral de volume da divergência) e o lado esquerdo (fluxo de F através de S).

Passo 2

Calcular a divergência de F. Por definição
nablacdotF = partialpartial x(x) +partialpartial y(y) +partialpartial z(-z) =1+1-1=1

Passo 3

Avaliar a integral de volume
integral triplaVnablacdotF,dV =integral triplaV1,dV =Vol(V) =43pi(2)^3 =32pi3

Passo 4

Calcular o fluxo de F pela superfície S. No lugar de parametrizar, usamos que para uma esfera de raio a vale
n=(x,y,z)a e integralSx^2,dS =integralSy^2,dS =integralSz^2,dS =4pi a^43
Aqui a=2. Então
Fcdotn = (x,y,-z)cdot(x,y,z)2 =x^2+y^2-z^22,
e
integral duplaSFcdotn,dS =12l(!!!integralSx^2,dS+integralSy^2,dS-integralSz^2,dSr) =12l(2cdot4pi,2^43-4pi,2^43r) =32pi3

Resposta

Os dois lados do Teorema de Gauss valem
32pi3

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