Um cone circular reto tem 8 cm de altura e 6 cm de raio da base. Calcule, desse cone:
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a) a área lateral Aell.
b) a área total AT.
c) a área AS M de uma secção meridiana.
d) a medida theta, em radiano, do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um cone circular reto com altura de 8 cm e raio da base de 6 cm. Vamos calcular quatro coisas diferentes sobre ele: a área lateral, a área total, a área de uma secção meridiana e o ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral. Para resolver isso, vamos usar fórmulas de geometria relacionadas a cones, áreas de superfície e trigonometria básica.

Passo 2

a) Calculando a área lateral Aell :
Primeiro, a área lateral de um cone é a área da “casca” do cone, sem considerar a base. A fórmula para a área lateral é:
Aell = pi r l
Onde:
  • r é o raio da base (6 cm)
  • l é a geratriz do cone
Mas, como não temos a geratriz diretamente, precisamos calculá-la. A geratriz l de um cone pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, já que o cone forma um triângulo retângulo com altura, raio e geratriz.
l = raizr^2 + h^2 = raiz6^2 + 8^2 = raiz36 + 64 = raiz100 = 10 cm
Agora, podemos calcular a área lateral:
Aell = pi times 6 times 10 = 60pi cm² ²

Passo 3

b) Calculando a área total AT :
A área total do cone é a soma da área lateral com a área da base. Já calculamos a área lateral, agora vamos calcular a área da base.
Área da base Abase :
Abase = pi r^2 = pi times 6^2 = 36pi cm² ²
Agora, somamos as duas áreas:
AT = Aell + Abase = 60pi + 36pi = 96pi cm² ²

Passo 4

c) Calculando a área ASM de uma secção meridiana:
Uma secção meridiana é um corte do cone que passa pela altura e pelo vértice, resultando em um triângulo isósceles. A área dessa secção é simplesmente a área desse triângulo.
Usando a fórmula da área do triângulo:
ASM = 12 times base times a<ura
Aqui, a base é o diâmetro da base do cone (que é 2r = 12 cm) e a altura é a altura do cone (8 cm).
ASM = 12 times 12 times 8 = 48 cm² ²

Passo 5

d) Calculando a medida theta em radianos do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral:
Para encontrar o ângulo central theta do setor circular que forma a área lateral do cone quando desdobrado, usamos a relação entre o comprimento da circunferência da base do cone e a circunferência do setor.
A circunferência da base do cone é:
C = 2pi r = 2pi times 6 = 12pi cm
A circunferência do setor (implicando no ângulo theta ) é:
Csetor = theta times l = theta times 10
Como essas duas circunferências devem ser iguais:
theta times 10 = 12pi Rightarrow theta = 12pi10 = 6pi5 radianos

Resposta

a) Área lateral Aell = 60pi cm²
b) Área total AT = 96pi cm²
c) Área da secção meridiana ASM = 48 cm²
d) Ângulo central theta = 6pi5 radianos

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