Um cone circular reto tem 8 cm de altura e 6 cm de raio da base. Calcule, desse cone:
31
a) a área lateral
.
b) a área total
.
c) a área
de uma secção meridiana.
d) a medida
, em radiano, do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral.
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a) a área lateral
b) a área total
c) a área
d) a medida
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um cone circular reto com altura de 8 cm e raio da base de 6 cm. Vamos calcular quatro coisas diferentes sobre ele: a área lateral, a área total, a área de uma secção meridiana e o ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral. Para resolver isso, vamos usar fórmulas de geometria relacionadas a cones, áreas de superfície e trigonometria básica.
Passo 2
a) Calculando a área lateral
:
Primeiro, a área lateral de um cone é a área da “casca” do cone, sem considerar a base. A fórmula para a área lateral é:
Onde:
-
é o raio da base (6 cm) -
é a geratriz do cone
Mas, como não temos a geratriz diretamente, precisamos calculá-la. A geratriz
de um cone pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, já que o cone forma um triângulo retângulo com altura, raio e geratriz.
Agora, podemos calcular a área lateral:
Passo 3
b) Calculando a área total
:
A área total do cone é a soma da área lateral com a área da base. Já calculamos a área lateral, agora vamos calcular a área da base.
Área da base
:
Agora, somamos as duas áreas:
Passo 4
c) Calculando a área
de uma secção meridiana:
Uma secção meridiana é um corte do cone que passa pela altura e pelo vértice, resultando em um triângulo isósceles. A área dessa secção é simplesmente a área desse triângulo.
Usando a fórmula da área do triângulo:
Aqui, a base é o diâmetro da base do cone (que é
cm) e a altura é a altura do cone (8 cm).
Passo 5
d) Calculando a medida
em radianos do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral:
Para encontrar o ângulo central
do setor circular que forma a área lateral do cone quando desdobrado, usamos a relação entre o comprimento da circunferência da base do cone e a circunferência do setor.
A circunferência da base do cone é:
A circunferência do setor (implicando no ângulo
) é:
Como essas duas circunferências devem ser iguais:
Resposta
a) Área lateral
cm²
b) Área total
cm²
c) Área da secção meridiana
cm²
d) Ângulo central
radianos