Calcular integralC f d r;para a força barf(x, y, z)=(4 x+5 y z, 5 x z, 5 x y) deslocar unna particula do ponto A(0,0,1) até D(1,2,1), ao lougo da poligonal A B C D. sendo B(0,3,0) e C(1,3,2)

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralCvec fcdot dvec r
onde vec f(x,y,z)=(4x+5yz,;5xz,;5xy) e o caminho C é a poligonal que vai de A(0,0,1) a B(0,3,0) a C(1,3,2) e finalmente a D(1,2,1).
O conteúdo aqui é campo vetorial conservativo e o Teorema Fundamental das Integrais de Linha: se vec f for gradiente de alguma função potencial phi, então
integralCvec fcdot dvec r=phi(D)-phi(A),
independente do caminho.

Passo 2

Verificamos que vec f é conservativo conferindo o rotacional nablatimesvec f. Chamando
P=4x+5yz, Q=5xz, R=5xy,
temos
partial Ppartial y=5z, partial Qpartial x=5z,
partial Ppartial z=5y, partial Rpartial x=5y,
partial Qpartial z=5x, partial Rpartial y=5x
Como todas as componentes do rotacional são zero, vec f é conservativo.

Passo 3

Buscamos uma função phi(x,y,z) tal que
partialphipartial x=4x+5yz
Integrando em relação a x,
phi(x,y,z)=integral(4x+5yz),dx=2x^2+5xyz+h(y,z)
Derivando em y,
partialphipartial y=5xz+partial hpartial y=Q=5xz
implica partial h/partial y=0, logo h depende só de z. Derivando em z,
partialphipartial z=5xy+h'(z)=R=5xy
implica h'(z)=0. Então h é constante e podemos tomar
phi(x,y,z)=2x^2+5xyz

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
integralCvec fcdot dvec r=phil(Dr)-phil(Ar)
Calculando nos pontos:
phi(1,2,1)=2cdot1^2+5cdot1cdot2cdot1=2+10=12,
phi(0,0,1)=2cdot0^2+5cdot0cdot0cdot1=0
Logo a integral vale 12-0=12.

Resposta

12

Exercícios relacionados