Calcule
, onde
d definido por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é definida pela equação
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas e transformação de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
onde vamos integrar. A equação dada é
. Para facilitar, vamos completar o quadrado em relação a
:
Então, a equação representa um círculo com raio
e centro no ponto
.
Passo 3
Agora que sabemos que
é um círculo com raio
e centro em
, podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Em coordenadas polares, qualquer ponto
é representado por
.
Passo 4
Vamos definir a transformação para coordenadas polares. O deslocamento do centro para
implica que:
E a equação do círculo em coordenadas polares fica:
Isso significa que
varia de
a
e
varia de
a
para cobrir todo o círculo.
Passo 5
A integral dupla
em coordenadas polares fica:
Aqui,
e
.
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral dupla
vale
.