Calcule integral duplapi x cdot d A, onde R d definido por x^2+y^2-y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplapi x cdot dA, onde a região R é definida pela equação x^2 + y^2 - y = 0. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas e transformação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região R onde vamos integrar. A equação dada é x^2 + y^2 - y = 0. Para facilitar, vamos completar o quadrado em relação a y:
x^2 + y^2 - y = 0 x^2 + (y^2 - y + 14) - 14 = 0 x^2 + (y - 12)^2 = 14
Então, a equação representa um círculo com raio 12 e centro no ponto (0, 12).

Passo 3

Agora que sabemos que R é um círculo com raio 12 e centro em (0, 12), podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Em coordenadas polares, qualquer ponto (x, y) é representado por (r cos theta, r sin theta).

Passo 4

Vamos definir a transformação para coordenadas polares. O deslocamento do centro para (0, 12) implica que:
y = r sin theta + 12
E a equação do círculo em coordenadas polares fica:
r = 12
Isso significa que r varia de 0 a 12 e theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.

Passo 5

A integral dupla integral duplaR x cdot dA em coordenadas polares fica:
integral0^2pi integral0^12 (r cos theta) cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^12 r^2 cos theta , dr , dtheta
Aqui, x = r cos theta e dA = r , dr , dtheta.

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a r:
integral0^12 r^2 cos theta , dr = cos theta cdot [ r^33 ]0^12 = cos theta cdot ( (12)^33 ) = cos theta cdot ( 124 ) = cos theta24

Passo 7

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^2pi cos theta24 , dtheta = 124 integral0^2pi cos theta , dtheta = 124 [ sin theta ]0^2pi = 124 (0 - 0) = 0

Resposta

A integral dupla integral duplapi x cdot dA vale 0.

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