Determine o jacobiano da transformação
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o jacobiano de uma transformação que liga as variáveis
e
com
e
através das equações
e
. O jacobiano é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a entender como as áreas (ou volumes, em dimensões maiores) se transformam quando mudamos de um sistema de coordenadas para outro. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais dessas equações e depois montar uma matriz para achar o determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como montar a matriz jacobiana. Ela é formada pelas derivadas parciais das funções que definem
e
em relação a
e
. Ou seja, teremos:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas:
-
: Derivando em relação a , o que nos dá 3. -
: Derivando em relação a , o que nos dá 4. -
: Derivando em relação a , o que nos dá 1. -
: Derivando em relação a , o que nos dá -2.
Passo 4
Com essas derivadas, nossa matriz jacobiana fica assim:
Para encontrar o jacobiano, precisamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 5
O determinante da matriz
é calculado multiplicando os elementos da diagonal principal e subtraindo o produto dos elementos da diagonal secundária:
Resposta
O jacobiano da transformação é
.