Seja definida por .
Mostre que f é diferenciável no ponto (0,0). justifique.
Dica: Calcule as derivadas parciais de f em todos os pontos do plano. Na origem não dá pra usar as regras de diferenciação e tem que fazer na forma de limite mesmo. Por ex,
partial fpartial x(0,0)=lim x 0 f(x, 0)-f(0,0)x-0=lim x 0 x^2 sin (1 / x^2)x=0 (por que?)
Uma vez visto que as derivadas parciais são nulas na origem, daí escrevendo
ou seja, R(hx, hy)=f(hx, hy), pode-se mostrar diretamente que lim (hx, hy) (0,0) R(hx, hy)raizhx^2+hy^2=0, ou seja, mostrar que f é diferenciável usando a definição.
Uma alternativa seria comparar os valores da derivadas parciais fora da arigem e na origem e concluir que as derivadas parciais são contínuas na origem.
e pede para mostrar que ela é diferenciável em (0,0).
Conteúdo: diferenciabilidade em R^2, cálculo de derivadas parciais por definição, e verificação do termo de resto.]
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais em (0,0) pela definição: