Seja f(x, y) definida por f(x, y)=cl(x^2+y^2) sin (1x^2+y^2), & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0).
Mostre que f é diferenciável no ponto (0,0). justifique.
Dica: Calcule as derivadas parciais de f em todos os pontos do plano. Na origem não dá pra usar as regras de diferenciação e tem que fazer na forma de limite mesmo. Por ex,
partial fpartial x(0,0)=lim x 0 f(x, 0)-f(0,0)x-0=lim x 0 x^2 sin (1 / x^2)x=0 (por que?)
Uma vez visto que as derivadas parciais são nulas na origem, daí escrevendo
f(0+hx, 0+hy)=f(0,0)+partial fpartial x(0,0) hx+partial fpartial y(0,0) hy+R(hx, hy),
ou seja, R(hx, hy)=f(hx, hy), pode-se mostrar diretamente que lim (hx, hy) (0,0) R(hx, hy)raizhx^2+hy^2=0, ou seja, mostrar que f é diferenciável usando a definição.
Uma alternativa seria comparar os valores da derivadas parciais fora da arigem e na origem e concluir que as derivadas parciais são contínuas na origem.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= (x^2+y^2),sinl(1/(x^2+y^2)r),&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que ela é diferenciável em (0,0).
Conteúdo: diferenciabilidade em R^2, cálculo de derivadas parciais por definição, e verificação do termo de resto.]

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais em (0,0) pela definição:
partial fpartial x(0,0) =limxto0f(x,0)-f(0,0)x =limxto0x^2sin(1/x^2)x =limxto0x,sin(1/x^2)=0,
pois l|x,sin(1/x^2)r|<=|x|to0. De modo análogo,
partial fpartial y(0,0) =limyto0f(0,y)-f(0,0)y =limyto0y,sin(1/y^2)=0

Passo 3

Para provar a diferenciabilidade, escrevemos o resto
R(hx,hy) =f(0+hx,0+hy)-f(0,0) =f(hx,hy)
porque as derivadas parciais na origem valem zero. Seja r=raizhx^2+hy^2. Então, para (hx,hy)neq(0,0),
gl|R(hx,hy)rgr| =l|(hx^2+hy^2),sin(1/(hx^2+hy^2))r|r =r^2,|sin(1/r^2)|r =r,|sin(1/r^2)|<= r;longrightarrow0
quando rto0. Isso mostra que
lim(hx,hy)to(0,0)R(hx,hy)raizhx^2+hy^2=0,
isto é, f satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0).

Resposta

A função f é diferenciável no ponto (0,0).

Exercícios relacionados