Usando o Teorema de Green, calcule oint(ln x-2 y) d x+(x^2+e^v) d y wo longo de x^2+y^2=4, no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. Temos a integral:
oint (ln x - 2y) , dx + (x^2 + e^y) , dy
ao longo do círculo x^2 + y^2 = 4 no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender e aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre uma região fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial F = (P, Q), a integral de linha ao redor de uma curva fechada C é igual à integral dupla sobre a região D limitada por C de:
partial Qpartial x - partial Ppartial y
Ou seja:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA

Passo 3

Identificando P e Q no nosso problema:
P = ln x - 2y
Q = x^2 + e^y
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(x^2 + e^y) = 2x
partial Ppartial y = partialpartial y(ln x - 2y) = -2

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - (-2) = 2x + 2
Então, nossa integral dupla fica:
integral duplaD (2x + 2) , dA

Passo 5

Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região D que é o interior do círculo x^2 + y^2 = 4. Uma boa maneira de resolver isso é usar coordenadas polares, já que a região é um círculo.
Em coordenadas polares:
x = r cos theta
y = r sin theta
dA = r , dr , dtheta
O raio r varia de 0 a 2 (já que o raio do círculo é 2) e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 6

Vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas polares:
2x + 2 = 2(r cos theta) + 2 = 2r cos theta + 2
Agora, a integral dupla fica:
integral0^2pi integral0^2 (2r cos theta + 2) cdot r , dr , dtheta
= integral0^2pi integral0^2 (2r^2 cos theta + 2r) , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral em relação a r primeiro:
integral0^2 (2r^2 cos theta + 2r) , dr = [ 23 r^3 cos theta + r^2 ]0^2
= 23 (8) cos theta + (4) = 163 cos theta + 4
Agora, a integral se torna:
integral0^2pi ( 163 cos theta + 4 ) , dtheta

Passo 8

Agora, resolvemos a integral em relação a theta:
integral0^2pi 163 cos theta , dtheta + integral0^2pi 4 , dtheta
A primeira integral, integral0^2pi cos theta , dtheta, é zero, porque o seno de 2pi e de 0 é o mesmo.
A segunda integral é:
4 integral0^2pi dtheta = 4 times 2pi = 8pi

Resposta

Portanto, o valor da integral é 8pi.

Exercícios relacionados