Usando o Teorema de Green, calcule
wo longo de
, no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. Temos a integral:
ao longo do círculo
no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender e aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre uma região fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
de:
Ou seja:
Passo 3
Identificando
e
no nosso problema:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 5
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região
que é o interior do círculo
. Uma boa maneira de resolver isso é usar coordenadas polares, já que a região é um círculo.
Em coordenadas polares:
O raio
varia de 0 a 2 (já que o raio do círculo é 2) e
varia de
a
.
Passo 6
Vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas polares:
Agora, a integral dupla fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro:
Agora, a integral se torna:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral em relação a
:
A primeira integral,
, é zero, porque o seno de
e de
é o mesmo.
A segunda integral é:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.