Um feixe de elétrons com energia cinética de 3 eV se move ao longo do eixo x , na direção de x positivo, quando encontra um poço de potencial de largura 0,4 \mathrm{~nm} \mathrm{e} profundidade \mathrm{V}_{0}=1,5 \mathrm{eV}.
(a) Determine o comprimento de onda dos elétrons no feixe incidente.
(b) Determine o comprimento de onda dos elétrons no poço de potencial.
(c) Qual fração do feixe incidente é transmitida além do poço? Qual fração é refletida?
(d) Calcule a energia cinética mais baixa dos elétrons em que ocorre transmissão perfeita (efeito Ramsauer).

Passo 1

O enunciado trata de espalhamento quântico de elétrons de energia cinética \,E=3\,\text{eV}\, que incidem sobre um poço de potencial de profundidade V_{0}=1{,}5\,\text{eV} e largura a=0{,}4\,\text{nm}. Para resolver precisamos:
– Calcular o número de onda fora do poço
k_{1} = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}
e dentro do poço
k_{2} = \frac{\sqrt{2m\,(E+V_{0})}}{\hbar}\,.
– Obter os comprimentos de onda \lambda_{i}=2\pi/k_{i} para i=1,2.
– Usar a fórmula da coeficiente de transmissão para poço (onde k_{2} é real):
T \;=\;\frac{4\,k_{1}^{2}\,k_{2}^{2}}{4\,k_{1}^{2}\,k_{2}^{2}+(k_{2}^{2}-k_{1}^{2})^{2}\,\sin^{2}(k_{2}a)}
e R=1-T.
– Para transmissão perfeita (efeito Ramsauer) impõe-se \sin(k_{2}a)=0, i.e.\ k_{2}a=n\pi, e daí calcula-se a energia mínima E que satisfaz essa condição.

Passo 2

Calculamos o comprimento de onda no feixe incidente E=3\,\text{eV} usando
\lambda_{1} \;=\;\frac{h}{\sqrt{2mE}}.
Numéricamente, com h=6{,}626\times10^{-34}\,\text{J\cdots}, m=9{,}11\times10^{-31}\,\text{kg} e E=3\times1{,}602\times10^{-19}\,\text{J}, obtém-se
\lambda_{1}\approx7{,}08\times10^{-10}\,\text{m} \;=\;0{,}708\,\text{nm}.

Passo 3

Dentro do poço a energia efetiva é E+V_{0}=3{,}0+1{,}5=4{,}5\,\text{eV}. Logo
\lambda_{2} \;=\;\frac{h}{\sqrt{2m\,(E+V_{0})}} \approx5{,}78\times10^{-10}\,\text{m} \;=\;0{,}578\,\text{nm}.

Passo 4

Usamos
T = \frac{4k_{1}^{2}k_{2}^{2}}{4k_{1}^{2}k_{2}^{2} + (k_{2}^{2}-k_{1}^{2})^{2}\,\sin^{2}(k_{2}a)}, \quad R = 1 - T.
Com k_{1}=2\pi/\lambda_{1}, k_{2}=2\pi/\lambda_{2} e a=0{,}4\,\text{nm}, chega-se a
T\approx0{,}965\quad\text{e}\quad R\approx0{,}035.

Passo 5

Para transmissão perfeita impõe-se \sin(k_{2}a)=0, i.e.\
k_{2} = \frac{n\pi}{a} \;\Longrightarrow\; E_{n}+V_{0} = \frac{\hbar^{2}k_{2}^{2}}{2m} \;\Longrightarrow\; E_{n}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{2m\,a^{2}}-V_{0}.
Para o menor n=1 e a=0{,}4\,\text{nm} resulta
E_{1}\approx22{,}0\,\text{eV}.

Resposta

(a) \lambda_{1}\approx0{,}708\,\text{nm}.
(b) \lambda_{2}\approx0{,}578\,\text{nm}.
(c) T\approx96{,}5\%, R\approx3{,}5\%.
(d) E_{\min}\approx22{,}0\,\text{eV}.

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